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« On peut satisfaire à l'équation (5) en supposant a, b, c constantes, 

 on a, S, y constantes. Ce cas est celui des surfaces dont les lignes de cour- 

 bure de l'un des systèmes sont dans des plans parallèles à un plan fixe. S'il 

 s'agit, par exemple, du premier système, et si l'on prend le plan fixe pour 

 celui des xz, on pourra faire 



a = o, b = i, e = o; 



alors l'équation (5) se réduit à 



S = /X. 



Excluant l'hypothèse de / = constante , laquelle correspond aux surfaces 

 cylindriques, l'équation précédente exige que l'on ait 



g = o, X = o, 



équations auxquelles on peut ajouter 



a'= v r. 

 Faisant de plus 



iLi, u=f{t), y = 6, u = ?(9), 



les équations (i), (2), (3), (4), deviennent 



(6) 



,-9 = ^1+^ + 9», 



En vertu de ces équations, l'équation 



dz — pdx -t- qdjr 



devient intégrable. En joignant son intégrale à la première équation (6) et 

 à la première équation (7), on forme un système de trois équations entre 

 les variables ar, y, z, t et 6, qui appartient aux surfaces dont nous nous 

 occupons. On retombe ainsi très-simplement sur le résultat obtenu par 

 Monge . 



» Laissons de côté le cas de a, b, c constantes et celui de a, é, y con- 

 stantes. L'équation (5)' et celles qu'on en déduit par la différentiation re- 

 lative à t, montrent que trois des quantités a, b, c, l, ou a, ë, y, X, sont 

 des fonctions linéaires de la quatrième; cela prouve déjà que les plans des 



