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lignes de l'une des courbures sont parallèles à une droite fixe. Supposons 

 qu'il s'agisse des lignes de la première courbure, et prenons la droite fixe 



pour axe des jr; on aura 



b = o, 



et l'on pourra faire en même temps 



a = i . 

 L'équation (5) se réduit alors à. 

 (8) a + ûy = II. 



La quantité c demeure essentiellement variable, et la précédente équation 

 ne peut subsister que si a et y sont liées par une équation linéaire de la 

 forme 



ka -+- Cy = o. 



Cela prouve que les plans des lignes delà deuxième courbure sont parallèles 



à une droite fixe située dans le plan xz. Si l'on prend cette droite pour axe 



des x, on aura 



a = o, 



et l'on pourra faire, en outre, 



6= i. 

 L'équation (8) donne alors 



1= me, X = — » 



m 



m désignant une constante. Faisant, de plus, 



c=-t, «=/(<), v=-<5, u = ? (0), 

 les équations (i), (2), (3), (4), deviennent 



'x = te +/(*), 

 ,_ P 



= 



(»°) 



— m ■+■ \/i -+- P' -+- Ç' 

 La dernière équation (9) et la dernière équation (10), donnent 



(m 2 — i)?'y/»j' -\-(m 2 — i)9» 



P = 



sjm* + [ni 1 — 1) 6'— m"- y/i — (m? — 1) 



t l 



_ (m»— i)6^i — (iw'— i)f 



\/w J 4-(m J — i)S'— m'^i — (m'— i)f 2 ' 



