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en posant 



«-' = X , /)«-' = Y, q tù~* = Z. 



Intégrant les équations (3), et exprimant que la seconde constante est une 

 fonction arbitraire de la première, on aura l'équation générale des enve- 

 loppées développables, et puis celle de la surface. 



» Pour faire cette intégration, j'emploie les variables de M. Serret; je 

 pose, en conséquence, 



_ _ dPd*u — d'Pdu „ _diQdu — dQd*u 



et je trouve, d'abord en fonction d'un paramètre a, 



Q = <p'(a), P = <p (a)-aç'(a), 



puis j'ai, pour déterminer u, une équation homogène du second ordre et 

 du second degré en u et a. Cette équation est d'une forme assez compliquée, 

 mais on peut la simplifier ; d'abord., en posant 



pn la ramène au premier ordre, puis, faisant 



f _ <p'(l + a 2 ) — a<p , I JT>— I 



+ ,>" + («<?'-?)> ajr ' 



(i -+- a» -h <p>) T [i -f- f'-i- (a<p' — <fY] 



on lui fait prendre la forme simple 



(A) djr | f?" y/i-f-^-t- ? a . . > F^i + T " + («?'- y)' 



Maintenant , si l'on pose 



F = \j\ -+■ a 2 -+- o a cos |3, 



de manière que /3 soit l'angle sous lequel les plans des lignes de courbure 

 coupent la surface, et que l'on substitue à la fonction arbitraire F ou /3 une 

 autre fonction F, telle que 



F .+ I + ^ + (a? '_ ?) i(F-.H-i)-F l cot/3 T^?T? ~°' 



on connaîtra une intégrale particulière de l'équation (4)> et, P ar suite, 

 l'intégrale générale. La question se trouvera donc résolue. » 



