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ont les mêmes propriétés que celles de M. Sturni. Ainsi l'on a cette pro- 

 position : Pour une valeur réelle de x, le nombre des termes positifs de la 

 suite 



V, *?, <? s %?„ 



V V,' <?,' ' <?_,' 



représente le nombre des couples de racines imaginaires de l'équation 



V = o, 



augmenté du nombre des racines réelles moindres que x. Le nombre des 

 termes négatifs serait le nombre de couples des racines imaginaires, plus le 

 nombre des racines réelles supérieures à x. De là se tire immédiatement le 

 théorème de M. Sturm, sous la forme que lui a donnée l'illustre géomètre; 

 mais les énoncés précédents sont ceux que fournit d'abord la méthode que 

 j'ai suivie. 



» En considérant deux équations à deux inconnues, dont les solutions 

 simultanées, en nombre m, soient 



x=a, y — a', x — b, y = b',..., x — k, y = k\ x = /, y = l', 



je désigne d'une manière analogue par A, B, . . . , K, L, des fonctions ration- 

 nelles semblables de ces solutions, de sorte que 



A = «p(a, a'), B = <p(6, £'),..., L = ? (/, /'). 



Cela étant, les expressions suivantes, fonctions rationnelles symétriques de 

 ces solutions, savoir : 



U, _ ^ i U 2 _-y (A — B )' 



U ~2*(x — a){y— a')' U ~~ 2d (x — a) {y- a').{x — b) (/ — 6')' 



U,__ V (A — B)'(A — C)'(B-C)' 



V —2é(x-a)(y -a').(x - b)(y - b').(x -c)(y -G')' 



et, en dernier lieu, 



U^,_ (A-B)'(A-C)'...(K-L)' 



U _ [x -a){y - af).{x - b){y - b'). . .{x - l){y -l')' 



donnent lieu à cette proposition : 



» Pour un système donné de valeurs réelles de x et y, le nombre des 

 termes positifs de la suite 



U, u, u 5 u„ 



■' TT' V^T'" - ' 



u' U,' U,' U_,' 



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