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 représente le nombre des couples de solutions imaginaires, augmenté du 

 nombre des solutions simultanées réelles x = a, y = a', pour lesquelles 

 (x — a) (y — a!) est positif. Le nombre des termes négatifs serait le 

 nombre des couples de solutions imaginaires augmenté du nombre des 

 solutions réelles, pour lesquelles {x — a) {y — a') est négatif. 



» D'après cela, si l'on représente par (.r, y) le nombre des termes po- 

 sitifs de notre suite, on trouvera très-aisément que le nombre des solutions 

 simultanées réelles, pour lesquelles on a à la fois 



X ^ Xq , X <^ X t , 

 J>Jo, JT<J,, 



est donné par la formule 



Ces nouvelles fonctions auxiliaires sont plus simples que celles auxquelles 

 j'étais arrivé dans un précédent Mémoire; elles n'exigent point que l'on 

 connaisse d'avance si, à une valeur de l'une des inconnues, correspond une 

 seule ou plusieurs valeurs de l'autre inconnue. Dans le cas des solutions 

 égales, elles se comportent, comme celles de M. Sturm ; la dernière fonc- 

 tion U m s'évanouissant, toutes les autres U, U ( , U 3 ,..., acquièrent un fac- 

 teur commun, tel que [x — a) (y — «'), et après la suppression de ce fac- 

 .teur, la nouvelle suite présente, avec un terme de moins, exactement la 

 même composition analytique et les mêmes propriétés que l'ancienne. On 

 peut aussi démontrer que trois fonctions consécutives sont liées par une 

 relation de la forme 



PU, ■+- QU, +t + RU (+2 = o, 



où les coefficients extrêmes sont des carrés, de sorte qu'en général, si une 

 fonction s'évanouit, la précédente et la suivante sont de signes con- 

 traires. Mais c'est là une conséquence et non le principe de ma métbode qui 

 repose sur quelques propriétés élémentaires des formes quadratiques. On 

 s'en rendra compte aisément en remarquant que les fonctions 



Y' Y'" 1 ' Y' 

 sont respectivement les invariants des formes quadratiques 



2^( X o+AX ( ) 2 , ^-^(Xo + AX. + A'X,)',..., 



2^( x o+AX ) +... + A m -'X m _ ) ) 2 - 



