( 33, ) 



où ij> désigne une fonction arbitraire. La surface dont il s'agit est déve- 

 loppable ; les lignes de la première courbure sont des droites, et celles de 

 la deuxième courbure sont sphériques, ainsi qu'il est très-aisé de le mon- 

 trer à posteriori. 



» Dans le second cas, où a, S, y sont liées par deux équations linéaires, 

 les lignes de la deuxième courbure sont sur des sphères qui ont leurs 

 centres en ligne droite. En prenant cette droite pour axe des z, on aura 



a = o, S = o , 



et l'on pourra faire y = 6. Alors l'équation (5) montre que c et u sont 

 proportionnels à l; il s'ensuit que les plans des lignes de la première cour- 

 bure passent par un point fixe de l'axe d,es z; on peut prendre ce point 

 pour origine des coordonnées, et cela revient à faire u = o. L'équation (5) 

 se réduit à 



(6) . c0-f-/X = o, 



et l'on peut y satisfaire de deux manières. On peut faire, en premier lien, 

 c — o, ce qui exige / = o ou X = o. Dans l'hypothèse de / = o, on déduit 

 des équations ( i ) et (a), 



qx - pj = o, 



et l'on trouve ainsi les surfaces de révolution. Dans l'hypothèse de X = o, 

 on obtient les surfaces considérées par M. Joachimsthal ; ce sont celles dont 

 les lignes de l'une des courbures sont dans des plans qui passent par une 

 droite fixe; les plans des lignes de la deuxième courbure sont sur des 

 sphères qui ont leurs centres sur cette même droite. Dans ce cas, en faisant 



a = t, b=-i, l=f{t), au = y(0), 



les équations (i), (a), (3), (Zj), des deux systèmes de lignes de courbure, 

 deviennent 



- tp -4- q = V + P 2 -+■ Ç'fit), 



•x 2 + 7 2 -f- z 2 — o.6z= <p(6), 



z — px — qy ■= d. 



On en déduit, sans difficulté, l'équation intégrale de la surface, qui contien- 

 dra les deux fonctions arbitraires f et f. 



