( 33 2 ) 



» Revenons à l'équation (6). Si c n'est pas nul, on peut le faire égal à i, 

 et alors l'équation (6) donne 



l = m, À = 0, 



m 



m étant une constante. Faisant alors 



a=-t, b'=—/{t), au = y(0), 

 les équations des deux systèmes de lignes de courbure sont 



z = tx+jj{t), 



tp -+- qfit) -h i — m v'i -f- p- 4- q 2 , 



x 2 4- J 2 4- z 2 — a0z = <p (0), 



z — px — qj - S = — ^ y i 4- /> 2 4- </ 2 ; 



et, comme dans le cas précédent, l'intégration définitive n'a aucune diffi- 

 culté. 



» Enfin on peut satisfaire à l'équation (5) sans qu'il y ait deux relations 

 linéaires entre a, S, 7; mais il faut que a, b, c satisfassent à une équation 

 linéaire. Alors u doit être une fonction linéaire de ces quantités, et, par un 

 changement de coordonnées, on peut faire en sorte que c et u soient nuls. 

 On voit que, dans ce cas, l'équation (r) représente des plans passant par 

 l'axe des z, et l'on n'obtient que l'une des surfaces considérées plus haut. 



» J'arrive maintenant aux surfaces dont les lignes de courbure des deux 

 systèmes sont sphériques. On a pour ces surfaces, en conservant nos no- 

 tations, 



( i ) {x - af -f- ( y - bf 4- ( z - cf = a 2 4- b 2 4- c 2 4- -i //, 



(a) - (x - a)p — (j- b)q + (z - c) = l\ji -4- p 2 -+-q 2 , 



(3) f^-a) 2 4-(j--ê) 2 + (z-7) 2 = a 2 4-ê 2 4-7 2 4- au, 



(4) -( x - a )p-(j-§)q + (z-i) = Ui+p> + q 2 . 



Quant à la condition de perpendicularité des lignes de courbure, elle est 

 simplement 



(5) u -h v -+■ ax -i- bfi -*- cy = IX. 



» Cette équation peut être vérifiée dans trois hypothèses très-distinctes : 

 i° si a, b, c ou a, 6, 7, sont constantes; a° si a, b, c ou a, S, 7, sont liées. 



