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 de chaque système enveloppent un cylindre, et ces deux cylindres sont per- 

 pendiculaires entre eux. 



» Les surfaces dont les lignes de courbure sont planes dans un système 

 et sphériques dans l'autre, se partagent en trois genres, dont l'un renferme 

 les surfaces de révolution. Le premier genre comprend les surfaces dont les 

 lignes de Tune des courbures sont sur des sphères concentriques; les plans 

 des lignes de l'autre courbure se coupent au centre commun de ces sphères. 

 J'ai mentionné, dans mon dernier article, un cas particulier remarquable 

 des surfaces dont il s'agit; c'est celui de la surface développable dont l'arête 

 de rebroussement est une courbe sphérique quelconque; l'analyse ne déter- 

 mine pas et ne peut déterminer en effet les plans des lignes de courbure 

 planes, puisque celles-ci sont les génératrices rectilignes de la surface. Le 

 deuxième genre comprend les surfaces que M. Joachimsthal a considérées ; ce 

 sont celles dont les plans des lignes de première courbure passent par une 

 droite fixe, et dont les lignes de la deuxième courbure sont sur des sphères 

 qui ont.leurs centres sur la droite fixe. Enfin, pour les surfaces du troisième 

 genre, les lignes de la première courbure sont dans des plans qui passent 

 par un point fixe et celles de la deuxième courbure sont sur des sphères 

 dont les centres sont situés sur une droite fixe ; la droite fixe passe par le 

 point fixe. L'équation, en quantités finies, des surfaces de chaque genre ren- 

 ferme, dans le cas général, deux fonctions arbitraires; il est clair qu'une 

 même surface individuelle peut appartenir à deux genres différents. 



» Mais mon analyse révèle en outre l'existence d'une surface pour laquelle 

 les équations relatives aux lignes de courbure planes ne contiennent aucune 

 fonction arbitraire, tandis que les équations qui se rapportent aux lignes 

 de courbure sphériques en renferment deux, .l'ai déjà mentionné ce cas, en 

 me bornant à dire que les surfaces qu'il comprend appartiennent au 

 deuxième des trois genres dont il vient d'être question. Dans ce cas remar- 

 quable, les coefficients de jc, y, z, dans l'équation des plans des lignes de, 

 première courbure, sont liés par une équation linéaire; de plus, comme 

 j'en ai déjà fait la remarque, le terme indépendant des coordonnées, dans 

 l'équation de ces plans, est une fonction linéaire des autres coefficients qui 

 se réduit à zéro, en même temps que ces coefficients; d'où il suit que les 

 plans des lignes de la première courbure passent par une droite fixe, qu'on 

 peut supposer être l'axe des z. La condition de perpendicularité des deux 

 systèmes de lignes de courbure établit encore que les centres des sphères 

 des lignes de la deuxième courbure sont dans un plan fixe qui passe par 

 l'axe des z, et que l'on peut prendre pour le plan des y%. D'après cela, on. 



