( 434 ) 



» quable que cette transformation donne toutes les surfaces à lignes de 

 » courbure sphériques. » 



» Or cette assertion est inexacte ; la seconde Note de M. Bonnet témoigne 

 que nous sommes tous deux d'accord sur ce point. 



» Mais je vais plus loin ; je prétends qu'au moment où il a publié sa se- 

 conde Note, M. Bonnet n'avait point aperçu nettement certaines particula- 

 rités remarquables que présente la solution de la question, particularités 

 auxquelles j'avais fait plusieurs allusions dans ma Lettre à M. Liouville, et 

 que j'ai depuis discutées avec soin dans la Note que j'ai eu l'honneur de 

 présenter lundi dernier à l'Académie. Je vais prouver ce que j'avance. 



» J'ai distingué en trois genres les surfaces dont les lignes de courbure 

 sont planes dans un système et sphériques dans l'autre ; c'est là une classi- 

 fication naturelle; les équations qui représentent les surfaces de chaque 

 genre renferment deux fonctions arbitraires. Il n'existe aucune surface ayant 

 la propriété exigée, qui n'appartienne à l'un de ces trois genres ; en excep- 

 tant, bien entendu, certaines surfaces dont toutes les lignes de courbure sont 

 planes et qui appartiennent aux genres que j'ai étudiés dans mon article 

 du a4 janvier. Je dois ajouter, toutefois, que l'équation des surfaces qui 

 composent le deuxième de mes trois genres doit subir une modification ; il 

 y manque une seule constante arbitraire : je reviendrai sur ce point en ter- 

 minant cet article. M. Bonnet distingue ces mêmes surfaces en quatre caté- 

 gories : toutes les surfaces qui composent les deux premières catégories se 

 retrouvent dans l'un de mes trois genres ; aussi ne m'occuperai-je que des 

 deux dernières. Pour les surfaces de la troisième catégorie, dit M. Bonnet, 

 les centres des sphères qui renferment les lignes de l'une des courbures, 

 sont sur une courbe plane, et, pour les surfaces de la quatrième catégorie, 

 ces centres sont sur une courbe gauche entièrement arbitraire. J'avoue que 

 je n'ai point formé de nouveau genre pour les surfaces dont il s'agit; je me 

 suis bien gardé de le faire, et M. Bonnet m'aurait imité s'il eût interprété 

 convenablement la réponse de l'analyse à l'égard de ces surfaces. Effective- 

 ment, pour les surfaces qui composent la troisième catégorie de M. Bonnet, 

 les lignes de courbure sphériques sont des circonférences dont les plans 

 sont perpendiculaires à un plan fixe, et dont les centres sont situés dans ce 

 même plan fixe ; par suite, la sphère qui renferme l'une quelconque des 

 lignes de courbure est indéterminée, et son centre peut être pris, où l'on 

 veut, sur une droite déterminée. On ne peut pas dire, dans ce cas, que les 

 centres des sphères forment une courbe. M. Bonnet, faute d'avoir connu 



