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nettement cette circonstance, a créé une catégorie de surfaces qui ne con- 

 stituent qu'un cas très-particulier de sa deuxième catégorie, et qui peuvent 

 être classées, à volonté, soit dans le deuxième de mes trois genres, soit dans 

 le second genre des surfaces dont toutes les lignes de courbure sont planes. 

 A la vérité, il comprend encore, dans la troisième catégorie, les surfaces 

 des canaux dont l'axe est une courbe plane arbitraire, et qui ne se trouvent 

 dans aucun de mes trois genres ; mais il faut remarquer que, pour ces sur- 

 faces, les lignes de courbure de l'un des systèmes sont dans des plans pa- 

 rallèles, et je me suis tout d'abord débarrassé des cas de cette espèce, dans 

 ma Lettre à M. Liouville, en renvoyant à mon article du il\ janvier. A l'égard 

 des surfaces de la quatrième catégorie, M. Bonnet se borne à dire : « On 

 n'a que les plans »; il a certainement vu que, dans l'hypothèse qui le con- 

 duit à son quatrième cas, les plans des lignes de l'une des courbures sont 

 parallèles, et que, par suite, les lignes de la seconde courbure sont planes. 

 J'ignore comment M. Bonnet a pu concilier ce résultat avec ce qu'il avait 

 énoncé plus haut, mais il est clair qu'ici, comme dans la troisième caté- 

 gorie, les lignes de courbure circulaires lui ont échappé ; autrement il n'au- 

 rait pas dit que ces lignes sont sur des sphères dont les centres forment une 

 courbe gauche. 



» J'ai peu de chose à dire sur les surfaces dont toutes les lignes de cour- 

 bure sont sphériques. Ainsi que je l'ai fait, M. Bonnet les distingue en trois 

 genres. Il trouvera toutes les surfaces, qu'il a mentionnées dans sa seconde 

 Note, parmi celles qui composent mes trois genres, s'il n'exclut pas les 

 valeurs infinies des constantes qui figurent dans mes équations. Dans cette 

 hypothèse des constantes infinies, il faut supposer un facteur infiniment 

 petit dans l'une des fonctions arbitraires; la généralité des résultats n'est 

 pas altérée. Ceci ne peut constituer une difficulté; d'ailleurs, il n'y a pas 

 lieu d'insister davantage, puisque les surfaces des deux derniers genres, 

 auxquelles se rapporte l'observation que je viens de faire, se déduisent des 

 surfaces précédemment étudiées au moyen de la transformation par rayons 

 vecteurs réciproques. 



» J'ai dit, plus haut, qu'il manque une constante arbitraire dans les 

 équations que j'ai données (Compte rendu delà séance du 21 février) pour 

 représenter le deuxième genre des surfaces dont les lignes de courbure sont 

 planes dans un système et sphériques dans l'autre. Qu'on se reporte effecti- 

 vement à la Lettre adressée à M. Liouville; il s'agit de satisfaire à l'équa- 

 tion (5), savoir 



11 = a a + /;§ 4- cy -f- 11, 



