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les ordonnées seraient les valeurs de y, abstraction faite du signe y— ' 

 Cette courbe prendra le nom de conjuguée de la courbe réelle. 



y> Si l'on faisait subir à la courbe réelle une transformation quelconque 

 de coordonnées, la conjuguée dont il vient d'être question se retrouverait 

 aisément, car, dans les coordonnées nouvelles d'un quelconque de ses 

 points, devenues toutes deux imaginaires, le rapport des parties imaginaires 

 de y et de x serait constant et connu à l'avance; cette condition suffit. 

 On les construira, du reste, en y faisant encore abstraction du signe \J— i , 

 et la solution transformée fournira le même point que la solution ancienne. 

 Réciproquement, les solutions d'une équation /'(.r, y) ss o, où le rapport 

 des parties imaginaires de l'ordonnée et de l'abscisse serait constant, pour- 

 ront devenir en même temps réelles par rapport à x si l'on dirige convena- 

 blement l'axe des^\ A chaque valeur du rapport il correspond donc une 

 courbe, conjuguée de la courbe réelle au même titre que la première; 

 ce rapport sera son coefficient caractéristique. 



» Le lieu fourni par les solutions de même coefficient caractéristique de 

 l'équation y = (m -+- n J— « ) x + p ■+■ q \J — i est une droite. 



» La droite y — y' ,=fa — -p-, (x — x'), qui passe au point imaginaire 



x'y', est tangente à la conjuguée de la courbe/ {x,y) = o qui passe en ce 

 point. 



» Le faisceau de droites représentées par l'équation d'une asymptote 

 imaginaire de la courbe réelle, renferme une asymptote de chacune de ses 

 conjuguées. 



» La courbe réelle est l'enveloppe de toutes ses conjugées; elles en peu- 



dr' 

 vent avoir une autre, imaginaire, que fournit l'équation —, = réel. 



» L'aire de la conjuguée à abscisses réelles est représentée par la même 

 intégrale que l'aire de la courbe réelle. Si cette intégrale, prise entre les 

 limites assignées, est A -f- B\J— i, A est l'aire du diamètre conjugué des 

 cordes parallèles à l'axe des y, B l'aire de la conjuguée au-dessus ou au- 

 dessous du diamètre. 



» L'aire d'une conjuguée quelconque serait représentée par l'intégrale 

 Jy'dx', y' étant l'ordonnée de la courbe rapportée à de nouveaux axes 

 X et Y', dont le second fût dirigé de manière que les abscisses de la 

 conjuguée considérée devinssent réelles ; mais l'identité 



sin Y'X. f* y'dx'^fydx -+- (0 - &£) sin Y' Y, 



