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ment infiniment petit attribué à la variable produit toujours, entre les limites 

 dont il s'agit, un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même. 

 Cela posé, concevons que la série (i) reste convergente, et que ses divers 

 termes soient fonctions continues d'une variable réelle x, pour toutes les 

 valeurs de x renfermées entres certaines limites. Soient alors 



s la somme de la série ; 

 s n la somme de ses n premiers termes ; 



et r„= s — s„ = u„+ u„+ { -+-... le reste de la série indéfiniment pro- 

 longée à partir du terme général u„. 



Si l'on nomme n' un nombre entier supérieur à n, le reste r„ ne sera 

 autre chose que la limite vers laquelle convergera, pour des valeurs crois- 

 santes de n', la différence 



(3) v— ■«•« = "« + u n +,-h...-t- u n <_ t . 



Concevons, maintenant, qu'en attribuant à n une valeur suffisamment 

 grande, on puisse rendre, pour toutes les valeurs de n comprises entre les 

 limites données, le module de l'expression (3) (quel que soit n'), et, par 

 suite, le module de r„, inférieur à un nombre e aussi petit que l'on voudra. 

 Comme un accroissement attribué à x pourra encore être supposé assez 

 rapproché de zéro pour que l'accroissement correspondant de s n offre un 

 module inférieur à un nombre aussi petit que l'on voudra, il est clair qu'il 

 suffira d'attribuer au nombre n une valeur infiniment grande, et à l'accrois- 

 sement de x une valeur infiniment petite, pour démontrer, entre les limites 

 données, la continuité de la fonction 



s = s n -t- r„. 



Mais cette démonstration suppose évidemment que l'expression (3) remplit 

 la condition ci-dessus énoncée, c'est-à-dire que cette expression devient infi- 

 niment petite pour une valeur infiniment grande attribuée au nombre en- 

 tier n. D'ailleurs, si cette condition est remplie, la série (i) sera évidemment 

 convergente. En conséquence, on peut énoncer le théorème suivant : 

 » i er Théorème. Si les différents termes de la série 



(i) u , u,, u 2 ,..., u n , «„+,,..., 



sont des fonctions de la variable réelle x, continues, par rapport à cette 

 variable, entres des limites données, si, d'ailleurs, la somme 



'3) u n -hu n+ ,-h ... +«„'_, 



