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 devient toujours infiniment petite pour des valeurs infiniment grandes des 

 nombres entiers n et ri > n, la série (i) sera convergente, et la somme s 

 de la série (i) sera, entre les limites données, fonction continue de la 

 variable x. 



» Si à la série (i) on substitue la série (2), l'expression (3), réduite à la 

 somme 



, , . sin ( n ■+- 1 ) x sin ( n -4- 2 ) x sin n' x 



4) — — — ' — 1 — — ! —+...-\ — . 



v ' n -f- 1 n +2 n' 



s'évanouira pour x = o ; mais pour des valeurs de x très- voisines de zéro, 

 par exemple pour x = -, n étant un très-grand nombre, elle pourra dif- 

 férer notablement de zéro; et si, en attribuant à n une très-grande valeur, 

 on pose non-seulement x = -, mais encore ri = oo , la somme (4), ou, ce 



qui revient au même, le reste r„ de la série (2) se réduira sensiblement à 

 l'intégrale 



sin x • 7r 11 1 1 cri 



, -r^ = ;- I + 7^r3 3- i. 3 .3.4.5 5 + -= 0,6244-- 



Ajoutons que, pour une valeur de x positive, mais très-voisine de zéro, 

 la somme s de la série (2) se réduira sensiblement à l'intégrale 



sin x , n - ~ 



__ dx — - = 1, 570796. 



» Soit maintenant 



z = x -+-J~i 



une variable imaginaire. Cette variable pourra être censée représenter l'af- 

 fixe d'un point mobile A situé dans un certain plan, et d'après la défini- 

 tion que j'ai proposée à la page 161 du XXXII e volume des Comptes rendus, 

 une autre variable imaginaire 



u = v -+- wi 



sera fonction de z, si les variables réelles i>, w sont Jonctions de x et y. 

 D'ailleurs, rien n'empêchera d'étendre aux fonctions de variables imagi- 

 naires la définition donnée pour les fonctions continues de variables réelles, 

 et dès lors une fonction u de la variable imaginaire z sera continue par 

 rapport à cette variable, pour toutes les valeurs de l'affixe z correspon- 



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