( 458 ) 



dantes aux divers points d'une aire S renfermée dans l'intérieur d'un cer- 

 tain contour, si, cette fonction admettant pour chacun de ces points une 

 valeur unique et finie, un accroissement, infiniment petit attribué à l'af- 

 fixe z produit toujours, dans le voisinage de chacun d'eux, un accroisse- 

 ment infiniment petit de la fonction elle-même. Cela posé, en raisonnant 

 comme ci-dessus, on établira encore très-facilement la proposition suivante : 

 » 2 e Théorème. Si les différents termes de la série 



(i) u , u, , ».,,..., u„ , u n+l , ... 



sont des fonctions de la variable imaginaire z, continues par rapport à cette 

 variable pour les diverses valeurs de l'affixe z correspondantes aux divers 

 points d'une aire S renfermée dans un certain contour, si d'ailleurs, pour 

 chacune de ces valeurs, la somme 



U n + U n+{ -h ... -h U„- 



devient toujours infiniment petite, quand on attribue des valeurs infini- 

 ment grandes aux nombres entiers n et «' > n, la série (i) sera conver- 

 gente, et la somme s de la série sera, entre les limites données, fonction 

 continue de la variable z. 



» On conclut aisément du théorème 2 , que la somme de la série (1) est 

 fonction continue dans le voisinage d'une valeur donnée de z, lorsque, cha- 

 que terme étant dans ce voisinage fonction continue de z, le module de la 

 série, correspondant à la valeur donnée de z, est inférieur à l'unité. Dans 

 le même cas, si chaque terme offre une dérivée unique, la série formée 

 avec les dérivées des divers termes sera encore une série convergente dont 

 la somme offrira une seule dérivée équivalente à la dérivée de la somme de 

 la série proposée. 



» En terminant, nous fixerons le sens de quelques expressions qui peu- 

 vent être utilement employées pour simplifier les énoncés de théorèmes 

 relatifs à la continuité des fonctions et à la convergence des séries. 



» Une fonction de la variable réelle ou imaginaire z sera dite monodrome , 

 si elle ne cesse d'être continue qu'eu devenant infinie; elle sera dite mono- 

 gène, si elle a une dérivée monodrome. Une fonction peut être monodrome 

 ou monogène, seulement pour les valeurs de z correspondantes aux points 

 intérieurs d'une certaine aire S renfermée dans un contour donné. 



» D'après ce qu'on vient de dire, une fonction monodrome de z variera 

 par degrés insensibles, en acquérant à chaque instant une valeur unique, 



