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reconnaître qu'en multipliant une équation d'aires par une troisième équa- 

 tion de lignes, on a bien une équation entre volumes. Et comme cette der- 

 nière équation est purement algébrique, puisque les volumes, formés même 

 avec des lignes de directions très-diverses, n'y sont combinés que par simple 

 addition ou soustraction ordinaire, rien n'empêche de la multiplier, comme 

 toute équation entre des nombres, par d'autres équations géométriques de 

 lignes, ce qui donnera périodiquement des équations de lignes, des équa- 

 tions d'aires et des équations de volumes ou de nombres (*). 



» D'après cela, que sera-ce que multiplier des équations algébriques don- 

 nées ax -+- by -+- cz -+- ... = d, a' x -+- ... = d', a"x-¥- ... = d" respective- 

 ment par les clefs a , S , y, ... ? 



» Ce sera rendre ces équations géométriques, ou attribuer à tous les 

 termes de la première la direction d'une ligne a, à tous les termes de la 

 seconde la direction dune ligne ë , etc. Ajouter ensuite les équations ainsi 

 multipliées, ce sera composer ensemble leurs premiers membres, et aussi 

 leurs seconds membres, comme on compose des forces ou des vitesses. 

 Multiplier cette équation-somme par le polynôme ba. + b'§ -h b"y..., où 

 h, b', b" sont de simples nombres, ce sera prendre les moments des deux 

 membres autour d'un certain point, ce qui donnera une équation géomé- 

 trique d'aires dans laquelle on pourra supprimer, comme on vient de voir, 

 les termes affectés des produits ace, §§,..., puisqu'ils sont nuls, et remplacer 

 • les Sa, ay, . . . par — aS, — ya, . . . , qui expriment les mêmes cotés des mêmes 

 aires. 



» Multiplier, après, par un autre polynôme coc -f- c'S '-+■ C'y..., ce sera 

 obtenir une équation de volumes où l'on fera des réductions semblables, et 

 ainsi de suite. Et comme on peut finalement faire le produit aëy... égal à i, 

 ou l'effacer simplement s'il est commun à tous les termes, les clefs eni- 



■ (*) Rien n'empêche non plus, et il est même commode, de remplacer toute équation entre 

 des aires par une équation entre des lignes qui leur soient proportionnelles et normales, ainsi 

 que le fait depuis longtemps M. Cauchy pour simplifier notablement la considération des mo- 

 ments en mécanique. Mais, si l'on doit multiplier par une nouvelle équation de lignes, il faut 

 remettre des aires ou au moins une aire dans chaque membre , au lieu des lignes ou des résul- 

 tantes des lignes qu'on leur avait substituées; à moins que, lorsqu'il s'agit de multiplier un 

 moment linéaire u. par une autre ligne a. , l'on ne définisse leur produit , avec M. Grassmann, 



de Stettin , par la quantité purement numérique fta cos fia. Ainsi nos produits ternaires , qua- 

 ternaires. . . aêy, aêyJ. . ne sont pas la même chose que les moments linéaires du troisième, 

 du quatrième. . . ordres introduits tout récemment par M. Cauchy (page 80), pour résoudre 

 avec simplicité les problèmes sur la rotation. 



