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ployées transitoirement comme symboles de directions, auront disparu, et 

 il restera un résultat purement algébrique et parfaitement exact. 



» Ainsi, les trois équations supposées réduites à trois inconnues donne- 

 ront une équation ne contenant plus que x , et dont on tire 



__ (rfa-M'g-t-rf"7)(6a-f-&'ë-4-é"7)(ca + c'ë-f-c"7) 

 X — ( aa u. a ' 'g -H a" 'y){ba + b' 'g 4- *" 'yj(«?a-+- ? '6 + c" 7 )' 



expression qui, en effectuant les multiplications géométriques comme des 

 multiplications algébriques, et en faisant les réductions désignées, donne le 

 quotient des deux déterminants connus db' c" — etc., etab'c" — etc. 



» Un rapprochement géométrique analogue peut être fait pour les autres 

 cas où M. Cauchy emploie ces sortes de clefs. On peut même ainsi prouver 

 directement ce que M. Cauchy établit seulement par la conformité du ré- 

 sultat, à savoir que, lorsque d= o, d' =± o, d" = o,..., on obtient, en mul- 

 tipliant simplement les équations l'une par l'autre, et en traitant oc, y, z 

 comme des clefs, l'équation de condition ab'c" — ab" d -+- etc. = o expri- 

 mant qu'elles sont compatibles, quels que soient x, y, z — 



» Cela conduit même à se rendre compte de ce que peuvent être, géomé- 

 triquement, ces polynômes appelés déterminants ou résultantes algébriques, 

 qui se rencontrent si souvent dans l'analyse. Une déterminante du n' eme 

 ordre me paraît être le produit géométrique de n sommes algébriques de n 

 lignes ayant, chacune à chacune, les mêmes directions dans les diverses 

 sommes-, en sorte que l'on a pour celui du troisième ordre, par exemple, 



xy'z" — xy"z' -+-...= le produit (x -+- y ■+■ z) (x 1 -h y -h z') (x" -h y" ■+■ z 7 ') , 



où x, x', x" ont une même direction (c'est-à-dire sont parallèles), y, y',y" 

 une autre direction qui est la même pour toutes trois, et z, z', z" aussi une 

 même troisième direction . 



» On peut voir de plus en plus les liens qui unissent la géométrie et l'al- 

 gèbre; liens qui se présentent sinon nécessairement, au moins très-naturel- 

 lement dans une foule de questions, et que les travaux de M. Cauchy 

 contribueront sans doute à rendre plus nombreux et plus étroits. » 



géométrie analytique. — Troisième Note sur les surfaces à lignes 



de courbure planes et sphériques ,• par M. Ossian Bonnet. 

 (Commissaires précédemment nommés : MM. Sturm, Lamé, Binet.) 



« En déposant, lundi dernier, une copie de mon Mémoire sur les surfaces 

 à lignes de courbure planes et sphériques, j'avais annoncé l'intention de 



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