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 » Si les points d'intersection des coniques sont réels, les polaires de l'un de 

 ces points sont les tangentes aux courbes en ce point; de sorte qu'il résulte 

 du théorème, que les tangentes aux coniques en chacun de leurs points 

 d'intersection forment des faisceaux homographiques . 



» Le mode de génération des courbes du troisième ordre, d'où nous 

 déduirons la construction de la courbe qui passe par neuf points, est com- 

 pris dans le théorème suivant : 



» Théorème général. Quand une série de coniques passent par les quatre 

 mêmes points [réels ou imaginaires), si l'on prend les polaires d'un cin- 

 quième point arbitraire , par rapport à ces courbes, puis, que, par un autre 

 point fixe P quelconque , on mène des droites [dont trois de direction arbi- 

 traire) formant un second faisceau homographique au faisceau formé par 

 les polaires, ces droites, qui correspondront, une à une respectivement, aux 

 coniques, rencontreront, respectivement, ces courbes en des points dont le 

 lieu géométrique sera une courbe du troisième ordre passant par les quatre 

 points communs aux coniques et par le point P. 



» Au lieu du faisceau de polaires, on peut prendre le faisceau formé par 

 les tangentes aux coniques en un de leurs quatre points communs. 



» On voit sur-le-champ que ce théorème doit conduire à la solution du 

 problème annoncé. Car, si l'on fait passer les coniques par quatre des neuf 

 points donnés, et que trois des droites issues du point P passent par trois des 

 autres points, on aura une courbe du troisième ordre passant par sept points. 

 Mais ce point P est pris arbitrairement, et l'on peut déterminer sa position 

 de manière à satisfaire en général à deux conditions ; ici ces deux condi- 

 tions seront que la courbe décrite passe par les deux points donnés dont on 

 n'a pas encore fait usage ; et l'on satisfait aisément à cette double condition, 

 comme nous le verrons. 



» Il y a plusieurs manières de démontrer le théorème ; soit en admettant 

 quelque propriété des courbes du troisième ordre ; soit en formant l'équa- 

 tion du lieu des points d'intersection des coniques par les droites qui leur 

 correspondent; soit enfin en prouvant que ce lieu ne peut rencontrer une 

 droite quelconque qu'en trois points. C'est cette marche que nous allons 

 suivre d'abord, parce qu'elle nous servira pour résoudre la question de dé- 

 terminer les points d'intersection d'une droite par la courbe du troisième 

 ordre qui doit passer par les neuf points donnés. 



» Démonstration du théorème. Il s'agit de démontrer que la courbe dé- 

 crite conformément à l'énoncé du théorème ne peut rencontrer une droite 

 quelconque qu'en trois points. Soit L cette droite; elle rencontre chaque 



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