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 conique en deux points m, m', et le rayon émané du point P et correspon- 

 dant à la conique en un point n. Soit (i le milieu du segment mm'. Les 

 deux points p., n forment sur la droite L deux divisions homographiques ; 

 car les rayons menés par le point P forment, par hypothèse, un faisceau 

 homographique au faisceau formé par les polaires d'un même point quel- 

 conque, relatives aux coniques. Donc les deux faisceaux rencontrent la 

 droite L en deux séries de points qui forment deux divisions homogra- 

 phiques. Or, si le point dont on prend les polaires est à l'infini sur la droite 

 L, les points où ces polaires rencontrent cette droite sont les milieux des 

 segments mm'. Donc, etc. 



» Les segments, tels que mm', formés par trois coniques sur la droite L 

 sont en involution, puisque les coniques passent par quatre mêmes points. 

 Soit O le point central de l'involution, lequel est déterminé par deux seg- 

 ments; on a 



Om . O m' = constante = v (i); 

 on, entre Om et Ofx, 



(i) Om — aOm.O/u.+ v = o. 



» Les deux points [x et n formant deux divisions homographiques, on a 

 entre les segments Of/. et On la relation générale 



(a] Ojx.On-f-a.O/jn- ê.On + y = o; 



oii a, S, 7 sont des constantes qu'on détermine aisément au moyen de trois 

 couples de points tels que p. et n (a). 



» A chaque point n correspond un point p., et correspondent deux points 

 m, m'. Pour que le point n soit un des points dans lesquels la courhe décrite 

 rencontre la droite L, il faut que ce point coïncide avec l'un des deux 

 m, m' qui lui correspondent. On déterminera donc les points d'intersec- 

 tion en question, en éliminant 0[i entre les deux équations (i) et (a), et en 

 faisant On = Om dans l'équation résultante. On obtient ainsi l'équation 



Om H- (a + aê) Om + (a-y-t- v) Om -+- av = o. 



Cette équation étant du troisième degré, on en conclut que la courbe 

 décrite rencontre une droite quelconque en trois points; ce qui prouve que 



(1) Traité de Géométrie supérieure ; p. i3(). 



(2) Ibid., p. 107. 



