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 on obtiendra pour équation résultante la formule symbolique 



AA'BB'=o. 



On aura d'ailleurs, en vertu des propriétés ci-dessus assignées aux 

 clefs a, 6, y, o, 



A A' = {bc' - b'c)§y -+- {ca' - c'a)ya •+- [ab' - a'b) aê, 

 £5' = (6c' - #c)y<? + (ca' - c'a) cfê + («£' -a'b)Çy, 



par conséquent, 



AJ'B&-&tâyâ, 



la valeur de K étant 



# = {ab' -a'b) {bc' - b' c) - {ca' - c'a) 3 , 



et, puisque la quantité qu'on doit substituer au produit a§y<? peut être 

 arbitrairement choisie, l'équation résultante sera simplement 



K = o, 



ou, ce qui revient au même, 



{ab — a'b){bc' — b'c) - {ca'-c'a) 2 = o. 



» Au reste, comme je l'expliquerai dans une prochaine séance, la théorie 

 des clefs peut être appliquée de diverses manières à l'élimination, et réduit 

 à de simples multiplications un grand nombre d'opérations algébriques, 

 par exemple, la division algébrique, la recherche du plus grand commun 

 diviseur de deux fonctions entières, etc. Elle fournit aussi, comme je le 

 ferai voir, des démonstrations très-rapides des théorèmes sur les résultantes 

 algébriques, et des méthodes très-expéditives pour la résolution des équa- 

 tions linéaires ou non linéaires, à une ou à plusieurs inconnues. 



» Concevons, maintenant, que l'on trace dans l'espace trois axes coor- 

 donnés rectangulaires ou obliques des x, jr, z, qui partent d'un point 

 fixe O •, et soient 



r, x, 7, s 



des quantités géométriques qui représentent : i ° le rayon vecteur mené de 

 l'origine O à un autre pointa; a les projections de ce rayon vecteur sur 

 les axes. La première de ces quatre quantités géométriques sera la somme 

 des trois autres, en sorte qu'on aura 



r = x +J ■+■ z. 



