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surface; p et q sont mis au lieu de — et — • Enfin les quantités a, b, c, u 



et l sont constantes pour une même ligne de courbure; mais, comme elles 

 varient d'une ligne à une autre, il faut les considérer comme des fonctions 

 d'un paramètre t. 



» Si l'on imagine que t soit éliminé des équations (i) et (2), on aura une 

 équation différentielle partielle dujpremier ordre, qui sera celle des surfaces 

 dont les lignes de courbure de l'un des systèmes sont planes. Cette équa- 

 tion ne renfermera que trois fonctions arbitraires ; car on peut égaler l'une 

 des quantités a, b, c, u à l'unité, et l'une des trois autres au paramètre t : 

 il s'ensuit que l'équation intégrale renfermera quatre fonctions arbitraires. 

 L'élimination de t n'est possible que si l'on a fixé les fonctions arbitraires; 

 mais si l'on suppose que x et t soient prises pour variables indépendantes, 

 on déduira facilement, des équations (t) et (2), une équation différentielle 

 partielle du premier ordre entre les variables y, x et t. L'équation intégrale 

 de celle-ci et l'équation (1) serviront à représenter les surfaces dont les lignes 

 de courbure de l'un des systèmes sont planes. 



» Mais si l'on veut que toutes les lignes de courbure soient planes, on 

 aura, outre les équations (1) et (2), 



(3) ax -+- Sy -\- yz = v, 



#2 . 



(4) - «-p - 6 y + 7 = Wi -+-/>' -M/' 



a, S, y, v et X étant fonctions d'un second paramètre Q. De plus, si dx , 

 dj, dz désignent les variations infiniment petites de x, y, z, sur la pre- 

 mière ligne de courbure; dx, ây, dz les variations sur la seconde, on 

 aura 



dx dx -t- dy dy -+- dzdz = o. 



» On a d'ailleurs 



adx -+- bdy ■+■ cdz = 0, dz = pdx -+- qdy, 

 adx -+■ êdy H- ydz — o, dz = pdx •+■ qdy, 



et l'équation précédente devient alors 



(bp — aq) [îp — aq) + (a + cp) {a + yp) -+- (/> -+- cq) (S -1- yq) = o. 



En ajoutant à cette équation celle que l'on obtient en multipliant les équa- 

 tions (2) et (4), membre à membre, il vient simplement 



(5) aa ■+■ bê ■+■ cy = IX. 



C. R., 1853, I er Semestre. (T. XXXVI, N" 4.1 27 



