(• aai ) 



On peut donc considérer F (a) comme -connu en fonction de tf, et en por- 

 tant cette valeur dans les équations (2), on a , après avoir remplacé la con- 

 stante C par une fonction arbitraire de j3, l'équation générale de l'enve- 

 loppée développable, puis celle de la surface cherchée. 



» Du cas particulier que l'on vient de traiter, on s'élève au cas où les 

 plans des lignes de courbure enveloppent une surface développable quel- 

 conque, et coupent toujours la surface sous un angle dont le cosinus est 

 proportionnel à celui de l'angle de ces plans avec le plan des (x, y). Pour 

 cela, on prend une ligne quelconque dont les tangentes soient perpendicu- 

 laires aux plans représentés par l'équation générale 



z — ax — <p (a) y = o 



(les équations d'une pareille ligne qui renferment une fonction arbitraire, 

 s'obtiennent aisément en employant les variables dont M. Serret a indiqué 

 l'usage dans une Note insérée dans la 5 e édition de l'ouvrage de Monge), 

 et l'on fait mouvoir parallèlement à elle-même une des surfaces obtenues 

 précédemment le long de cette courbe, en supposant qu'à chaque déplace- 

 ment la surface se contracte d'une quantité toujours égale à m fois le z de 

 la courbe directrice, l'enveloppe de la surface ainsi variable de forme et de 

 position sera la surface cherchée. 



» Il reste à considérer le cas où les plans des lignes de courbure enve- 

 loppent une surface développable quelconque et coupent la surface sous 

 un angle quelconque, ou simplement le cas où ces plans enveloppent un 

 cône et coupent la surface sous un angle quelconque ; car on voit facile- 

 ment, par ce qui précède, comment il est possible de passer de ce cas au 

 premier. 



» Les équations de la surface sont alors 



z- a.x-cp(a)y = o, 1 ■+■ ap + 9 (a)q = y/, + p * + f F(a), 

 et l'enveloppée développable satisfait aux trois suivantes : 



où l'on a fait 

 On en déduit 



4p dg dt _ dû 



p — a. 7 — tp(a) ~~ t — F (a) "" ~Z 



y/i -h p* ■+- q 2 = t, z — px — qy— u. 



