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 équations de la forme 



(3) x- -+- jr 2 +z 2 — iu.x — 2 ]%■• — lyz = p, 



(4) ( x -a)p + (j-B) q -(z-y) = l s /' l + p^ q \ 



. •» ' 

 a, fi, y, p, X étant des fonctions d'un paramètre Q qui fixe la position de ces 

 lignes de seconde courbure. 



> Exprimant que les lignes de première et de seconde courbure se cou- 

 pent à angle droit, et simplifiant en employant la marche indiquée par 

 M. Serret, il vient 



(x ~a)(x- a) + ( j - £) (j - /3) -t- (z - c) (z - y) = 11, 



ou bien, d'après les équations (r) et (3), 



aa. -+- bB + cy = /X — - — -• 



1 ' 2 2 



Dif'férentiant cette équation, une fois paç rapport à t, une fois par rapport 

 à 0, et dénotant les dérivées par des accents, à la manière de Lagrange, on 

 a plus simplement 



(6) a'a'+b'^'+c'y'=l'\'. 



Cette relation, analogue à l'équation (5) de M. Serret, montre, en laissant 

 de côté les cas particuliers, que les centres des sphères sur lesquelles sont 

 tracées les lignes de première courbure sont dans un même plan . Prenant ce 

 plan pour plan des xz, on aura b = o, et l'on pourra poser a= t, c =f (t), 

 ce qui réduira l'équation (6) à celle-ci : 



(7) a.' + f'(t)y'=l'\'. 



De cette dernière relation, on conclut de même que les centres des sphères 

 qui contiennent les lignes de seconde courbure sont dans un plan perpen- 

 diculaire au plan des (z, x) ; prenant donc ce plan pour plan des (z, y), on 

 aura a = o, on pourra poser j3 = 0, y =f t (0), et l'équation (7) deviendra 



f'(t)f l (6) = n.', 



d ou 



/ — mf{i) + m', 



m, m', m" étant des constantes. Portant dans l'équation (5) les valeurs pré- 



