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p et q étant les coefficients différentiels — > -y relatifs à la surface trans- 



' ' dx dy 



formée de la surface à lignes de courbure sphériques. 



» Les équations (12) et (1 3) appartiennent à la surface alignes de courbure 

 planes, pour laquelle les plans des lignes de courbure passent par un même 

 point et coupent la surface sous un angle dont le cosinus est proportionnel 

 au cosinus de l'angle que ces mêmes plans font avec un certain plan fixe. 

 Ainsi, la surface obtenue est l'une de celles que nous avons considérées, 

 dans notre second Mémoire, sur les surfaces à lignes de courbure planes. 



» Il était évident qu'en transformant par rayons vecteurs réciproques les 

 surfaces particulières à lignes de courbure planes dont on vient de parler, 

 on devait obtenir des surfaces à lignes de courbure sphériques, car, dans 

 ces surfaces, les lignes de seconde courbure sont sphériques, comme on 

 peut facilement le démontrer; mais il est remarquable que cette transfor- 

 mation donne toutes les surfaces à lignes de courbure sphériques. 



» Observons, en terminant, qu'on obtiendrait de la même manière les 

 surfaces pour lesquelles les lignes de première courbure sont planes et les 

 lignes de seconde courbure sont sphériques. » 



analyse mathématique. — Remarques sur le théorème de M. Sturm; 



par M. Hermite. 



(Commissaires précédemment nommés: MM. Cauchy, Liouville, Sturm.) 



« En représentant par V = o une équation quelconque de degré /«, dont 



les racines soient a, b,..., k, l, et par V,, V a ,..., V m la suite des fonctions 



de M. Sturm, on a, d'après le beau théorème de M. Sylvester, les expres- 



sions 



V, _ y 1 , X.' — V (" — b Y 



V 2é X — a V ~2d( x — a){x — b)' 



V 2à(x — a) (x — b) (x — c)'' V (x — a) (x— b),...,{x— l) ' 



J'ai remarqué qu'en désignant par A, B,..., R, L des fonctions rationnelles 

 semblables de a, b,...,k, l, de telle sorte que 



A = ? (a), B = ? (£),..., L = ?(/), 

 les nouvelles fonctions 



Zi — Y ' 'îi — Y ( A ~ B ) ; 



V ~Zàx—a V ~2à(x — a)(x — b) 



t? 3 y (A — B)'(A-Q'(B — C)' -v? M _ (A-B)'(A-C)y..,(K.-L) ' 



V Zà (x — a){x— b)(x — c) ' V" (x — a)(x—b),...,(x — L) r 



