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 lequel toute mon analyse est fondée, peut être aisément étendu aux sur- 

 faces qui ont une ligne de courbure sphérique, en faisant usage de cette 

 belle méthode de transformation. J'avais à peu près terminé mon travad, 

 lorsque M. Bonnet vint m' annoncer qu'il avait traité le même sujet par ma 

 méthode, et qu'il avait présenté son Mémoire à l'Académie; je cessai dès lors 

 de m'occuper de cette question. 



» Mais je viens de lire, dans le Compte rendu de la dernière séance, 

 l'analyse du Mémoire de M. Bonnet. La solution qu'il donne du problème 

 ne me paraît pas complète; permettez-moi d'entrer dans quelques détails 

 sur la question importante dont il s'agit. 



» Il convient d'abord de déterminer les surfaces pour lesquelles les lignes 

 de courbure du premier système sont planes, et celles du deuxième système 

 sphériques. En désignant par x, y, z des coordonnées rectangulaires; par 



p et q les différentielles partielles — et — ; par a, b, c, Z, u des fonctions 



d'un paramètre t, dont une peut être prise égale à i et une autre à t; par 

 a, g, 7, X, v des fonctions d'un second paramètre 0, dont l'une peut être 

 prise égale à 6 ; on a les quatre équations 



( i ) ax -+- by + cz = u, 



.'i 



' i y, 



(2) — ap — bq -+- c = l \ 1 -4- p 1 + q 2 



(3) {x - a) 2 4- (j - S) 2 + {z - 7 ) 2 = a 2 -t- g 2 + f 



(4) _ (* _ a ) p _ ( j _ g) q + ( Z . _ y) = x v /i + p* + q\ 



» Les équations (1) et (2) appartiennent au premier système de lignes 

 de courbure; les équations (3) et (4) sont relatives au deuxième système. 

 En suivant la marche que j'ai indiquée précédemment, on trouve que la 

 perpendicularité des deux lignes de courbure, qui passent par un même 

 point, est exprimée par l'équation 



a (x - a) + b( y - g) + c (z - y) = 11, 

 qui, à cause de l'équation (1 , se réduit à 



(5) u = au. + b§ -+- cy + 11. 



» On peut satisfaire à cette équation (5) dans l'hypothèse de a, b, c con- 

 stantes; mais alors les plans des lignes de la première courbure sont paral- 

 lèles, et, par suite, les lignes de la deuxième courbure sont planes. Ce cas ne 

 peut donc comprendre que des surfaces faisant partie de l'un des systèmes 



