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 l'équation (5), 



a — o, b=zi, c =fi t), u = mm"f(t) -+- m", / == mf(t) + m ' 7 



a = $, S = o, 7 = <p(Ô), jj^'^-^^+m'in" -nf, X = ~tp{6) -+-/«"; 



_/ et <p sont des fonctions arbitraires; m, m', m", m" sont des constantes. 



» Pour les surfaces relatives à la deuxième et à la troisième hypothèse,, 

 les sphères des lignes de courbure d'un système se coupent en un même 

 point réel ou imaginaire; donc une transformation convenable, par rayons 

 vecteurs réciproques, change ces surfaces en d'autres dont les lignes de 

 courbure d'un système sont planes. Il résidte de là que les surfaces de la 

 deuxième et de la troisième catégorie s'obtiennent toutes en appliquant 1» 

 transformation par rayons vecteurs réciproques : i° aux surfaces dont toutes, 

 les lignes de courbure sont planes; a° aux surfaces dont les lignes de cour- 

 bure sont planes dans un système et sphériques dans l'autre. 



» Il reste à examiner quelques détails, j'y reviendrai prochainement. » 



analyse mathématique. — Note sur le développement des Jonctions en 

 séries convergentes ordonnées suivant les puissances croissantes de la 

 variable; par MM. Briot et Bouquet. (Extrait par les auteurs.) 



(Commissaires, MM. Cauchy, Liouville, Binet.) 



« Le beau théorème de M. Cauchy sur le développement des fonctions 

 en séi-ies convergentes reste encore enveloppé de quelques nuages. On n'est 

 pas d'accord sur les conditions nécessaires à l'existence du théorème. Dans 

 l'énoncé de son théorème, M. Cauchy dit que « le développement est 

 » possible, lorsque la fonction est continue ainsi que sa première dérivée. » 

 M. Lamarle pense que la continuité de la fonction suffit; mais la démonstra- 

 tion de M. Lamarle suppose une condition dont il ne parle pas. Plus tard , 

 M. Wantzel crut trancher la difficulté, en démontrant que si la fonction est 

 continue, sa dérivée l'est aussi. La démonstration de M. Wantzel suppose la 

 même condition que celle de M. Lamarle ; elle est d'ailleurs complètement 

 inutile, car, si la condition dont il s'agit est remplie, la continuité de la déri- 

 vée se voit immédiatement. Nous espérons que la Note que nous soumet- 

 tons aujourd'hui au jugement de l'Académie lèvera toutes les difficultés 

 qui obscurcissaient encore cette importante question. 



» Nous commençons par poser quelques principes sur la manière de 

 définir une fonction d'une variable imaginaire. Nous examinons ensuite à . 



