( 335 ) 



>quelles conditions doit satisfaire la fonction pour être développable en série 

 convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de la variable. Ces 

 conditions sont au nombre de trois : i° La fonction doit être finie et con- 

 tinue pour toutes les valeurs de la variable imaginaire, dont le module est 

 moindre qu'une certaine quantité R; en d'autres termes, si l'on représente 

 la variable imaginaire par un point mobile dans le plan, la fonction doit 

 varier d'une manière continue quand le point mobile parcourt une courbe 

 quelconque dans l'intérieur du cercle qui a pour rayon R et pour centre 

 l'origine des coordonnées. i° La fonction doit reprendre la même valeur 

 au même point, quel que soit le chemin que l'on suive pour y arriver, eu 

 restant toujours dans l'intérieur du cercle. 3° Il faut que la fonction ait une 

 dérivée unique en chaque point, quelle que soit la direction du déplace- 

 ment. Lorsque ces trois conditions sont remplies , la fonction est dévelop- 

 pable en une série ordonnée suivant les puissances croissantes de la variable 

 «t convergente dans l'intérieur du cercle du rayon R. 



» Nous ferons d'abord remarquer que ces conditions sont nécessaires. 

 Dans un Mémoire sur les séries ordonnées suivant les puissances croissantes 

 d'une variable imaginaire, Mémoire présenté à l'Académie le 7 février 1 853, 

 nous avons démontré, en effet, que les séries de ce genre jouissent des trois 

 propriétés énoncées dans l'intérieur d'un cercle que nous avons appelé 

 cercle de convergence. 



» Il est impossible de réduire ces conditions à un nombre moindre ; car 

 il est aisé de concevoir des fonctions qui jouissent de la première propriété 

 sans jouir de la deuxième, et d'autres qui jouissent des deux premières sans 

 jouir de la troisième. 



» La troisième propriété est susceptible d'une interprétation géométrique 

 très-simple. Soient m le point mobile qui représente la variable, M celui qui 

 représente la valeur correspondante de la fonction. Quand le point m décrit 

 une courbe, le point M décrit aussi une courbe; si la fonction admet une 

 dérivée unique en chaque point, l'angle de deux courbes quelconques 

 décrites par le point m égale l'angle des deux courbes correspondantes 

 décrites par le point M. Ceci donne un mode de transformation des figures 

 planes dans lequel les angles ne sont pas altérés. » 



analyse mathématique. — Mémoire sur la méthode d'interpolation de 

 M. Cauchy; par NI. Perrey (Alexis). 



(Commissaires, MM. Cauchy, Sturm.) 



44- 



