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 classes de surfaces : les transformées générales des surfaces à lignes d'une 

 des courbures planes dont on a parlé dans le cas précédent, et les trans- 

 formées des surfaces dont toutes les lignes de courbure sont planes. 



» Ajoutons, ce qui est très-important, que l'on doit toujours accompa- 

 gner les différentes transformées, par rayons vecteurs réciproques indiquées 

 précédemment, des surfaces qu'en en déduit par une dilation constante, et 

 que cela permet de supposer réel le centre de transformation. » 



géométrie. — Sur les surfaces dont les lignes de courbure de chaque 

 système sont planes ou sphériques ; par M. J.-A. Sehret. 



(Commissaires, MM. Sturm, Lamé, Binet. ) 



« L'analyse dont j'ai fait usage dans les articles que j'ai publiés précé- 

 demment [Compte rendu des séances des il\ janvier et 2 1 février 1 853), pour 

 la recherche des surfaces à ligne de courbure planes ou sphériques, conduit 

 naturellement à distinguer ces surfaces en plusieurs genres. Pour les surfaces 

 d'un même genre, les lignes de courbure de chaque système sont détermi- 

 nées directement par le moyen de deux équations entre les coordonnées 



rectangulaires x, y, z, et les différentielles partielles—» — ou p etq. Cha- 

 cun des systèmes d'équations dont il s'agit, renferme un paramètre variable 

 et, en général, une fonction arbitraire unique de ce paramètre ; ils consti- 

 tuent les deux intégrales intermédiaires d'une équation différentielle par- 

 tielle du deuxième ordre débarrassée d'arbitraires, en sorte que, pour ache- 

 ver la solution, il ne reste plus qu'à intégrer la seule équation différentielle 

 ordinaire dz = pdx -+- qdy . 



» Mais, dans quelques cas particuliers, les équations relatives à 1 un des 

 systèmes de lignes de courbure ne renferment aucune arbitraire, tandis 

 que les équations qui se rapportent à l'autre système contiennent deux 

 fonctions arbitraires. Les cas dont je parle présentent ainsi une singularité 

 remarquable que je me propose d'examiner ici en résumant la solution géné- 

 rale que j'ai donnée dans les articles cités plus haut. 



» Les surfaces dont toutes les lignes de courbure sont planes n'offrent 

 rien de particulier. On peut les diviser en deux genres. Pour les surfaces du 

 premier genre, qui comprend les surfaces de révolution, les plans des lignes 

 de la première courbure sont parallèles à un plan fixe, et les plans des 

 lignes de la deuxième courbure enveloppent un cylindre parallèle au plan 

 fixe Pour les surfaces du deuxième genre, les plans des lignes de courbure 



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