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étendue au cas où les limites et les valeurs intermédiaires de x et de y 

 seraient imaginaires, donne le moyen d'éviter la transformation de coor- 

 données. 



» La partie algébrique qui forme la différence des deux intégrales dis- 

 paraît lorsque, la conjuguée étant fermée, l'intégrale s'étend à son contour 

 entier; cette intégrale représente alors l'aire intérieure. Il en résulte que 

 si la conjuguée est fermée, son aire intérieure est une période de l'in- 

 tégrale; du reste, toutes les conjuguées fermées, comprises entre les mêmes 

 branches de la courbe réelle, ont même aire. En effet, soient AMB, A'M'B' 

 deux demi-conj uguées voisines qui touchent la courbe réelle aux points A 

 et B, A' et B'; l'intégrale prise en suivant le contour AMB ou AA'M'B'B aura 

 la même valeur: or la partie imaginaire de cette intégrale représentera, dans 

 l'un des cas, l'aire comprise entre AMB et son diamètre AB, dans l'autre cas, 

 l'aire comprise entre A'M'B' et son diamètre A'B'. 



» L'intégrale prise entre deux limites imaginaires correspondantes aux 

 points B et B' représente, à la différence près de la partie algébrique, l'aire 

 de la conjuguée à laquelle appartient le point B, limitée à ce point et au 

 point C où elle touche la courbe réelle, plus l'aire de la courbe réelle limitée 

 au point C et au point C où elle touche la conjuguée à laquelle appartient 

 le point B', plus l'aire de cette dernière conjuguée limitée aux points C et B'. 



» L'intégrale a autant de périodes réelles que la courbe a d'anneaux 

 fermés ou de branches ayant une aire fermée, et autant de périodes imagi- 

 naires qu'il y a de conjuguées fermées. 



» La période réelle s'engendre par le mouvement du point de contact de 

 l'anneau réel fermé avec la conjuguée à laquelle appartient le point mobile; 

 autant de tours ce point fait sur l'anneau réel, autant il faut compter de 

 périodes accomplies. 



» La demi-période imaginaire est complète lorsque le point mobile parti 

 de l'une des branches de la courbe réelle arrive par des valeurs imaginaires 

 à l'autre branche ; autant de fois le chemin qu'il parcourt touche l'une et 

 l'autre branche, alternativement, sans rebroussement, autant il faut compter 

 de demi-périodes. 



» Si <p (a, S, a', §') = o est la condition arbitraire choisie pour définir ce 

 chemin, les points où il touche la courbe réelle sont ceux où la courbe 

 o(x,o,y,o) = o la rencontre; ces points trouvés, il reste seulement à voir 

 si le point mobile passe alors d'une moitié à l'autre de la conjuguée sur 

 laquelle il se trouve, du dessus au dessous du diamètre. 



» Les solutions réelles par rapport à x etjy, imaginaires par rapport à z 



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