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 » Lorsque les différents termes de la série 



(') 



//, , u 2 ,..., u„ 



sont des fonctions d'une même variable x, continues par rapport à cette 

 variable, dans le voisinage d'une valeur particulière pour laquelle la série 

 est convergente, la somme s de la série est aussi, dans le voisinage de cette 

 valeur particulière , fonction continue de x. 



» Comme l'ont remarqué MM. Bouquet et Briot, ce théorème se vérifie 

 pour les séries ordonnées suivant les puissances ascendantes d'une va- 

 riable. Mais, pour d'autres séries, il ne saurait être admis sans restriction. 

 Ainsi, par exemple, il est bien vrai que la série 



, . . sin ix sin 3x 



(a) siM, -»--, -j- ,— » 



toujours convergente pour des valeurs réelles de x, a pour somme une 

 fonction de x qui reste continue, tandis quear, supposée réelle, varie, dans 

 le voisinage d'une valeur distincte d'un multiple ± 2nn de la circonfé- 

 rence 27:, et qui se réduit, en particulier, à ? entre les limites x = o, 



ï=2n. Mais à ces limites mêmes, la somme s de la série (2) devient dis- 

 continue, et cette somme, considérée comme fonction de la variable réelle x, 

 acquiert, à la place de la valeur 



donnée par la formule 



1t V 



- OU ■, 



2 2 



1t — X 

 S= > 



la valeur singulière 5 = 0, qui reparaît encore quand on suppose 



x = ± 2 nn, 



n étant un nombre entier quelconque. 



» Au reste, il est facile de voir comment on doit modifier l'énoncé du 

 théorème, pour qu'il n'y ait plus lieu à aucune exception. C'est ce que je 

 vais expliquer en peu de mots. 



» D'après la définition proposée dans mon Analyse algébrique, et géné- 

 ralement adoptée aujourd'hui, une fonction u de la variable réelle x sera 

 continue, entre deux limites données de x, si, cette fonction admettant pour 

 chaque valeur intermédiaire de x une valeur unique et finie, un accroisse' 



