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Géométrie ET MÉCANIQUE. — De l'interprétation géométrique des clefs 

 algébriques et des déterminants ; par M. de Saint-Venant. 



(Commissaires, MM. Cauchy, Lamé, Binet. ) 



« Lorsqu'on a plusieurs équations, telles que 



ax + bj ■+■ cz -\- . . . = d, 

 a'x + b' j-\- c'z -+- . . . — d', 

 a"x +i"7 + c"z + ... = d\ 

 etc., 



que l'on peut désigner simplement par 



U = o, U'=o, U"=o,..., 



et lorsqu'après les avoir multipliées respectivement par des facteurs indéter- 

 minés monômes a, ë, 7, etc., puis ajoutées ensemble, on multiplie l'équation 

 somme par des facteurs polynômes tels que 



ba + b'S + b"y, ca + c'é + c"y, 



on peut évidemment, dans l'équation nouvelle qui en résulte, remplacer 

 par des quantités absolument quelconques les divers produits de a, ë, y, etc., 

 entre eux, et mettre même, si l'on veut, sans qu'elle cesse pour cela d'exister, 

 autre chose pour éa que pour aë, etc., puisque les termes de cette équation 

 étant affectés tous de U ou U' ou U", etc., sont tous nuls. 



» Aussi les transmutations quelconques que M. Cauchy, dans ses com- 

 munications des 10, 17 et 24 janvier (*), dit que l'on peut faire subir aux 

 produits des indéterminées a, ê, y, appelées par lui clefs algébriques , sont 

 toujours permises et n'ont pas besoin d'être autrement justifiées. 



» Mais on peut voir que l'illustre géomètre, soit pour produire la dispa- 

 rition de toutes les inconnues d'équations données hors l'une d'elles, x, 

 soit pour un grand nombre d'autres usages, s'arrête aux transmutations 

 suivantes : 



aa, ëë,..., remplacées par zéro ; êa par — «.£, — 



» Or il peut être intéressant de remarquer qu'avec cette particularisa- 

 tion, les clefs a, 6, y, etc., et les diverses opérations algébriques faites par 

 leur moyen, ont une signification géométrique. 



(*) Comptes rendus, tome XXXVI, pages 70, 129, 161. 



