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répondre à quelques assertions émises par M. Serret dans sa dernière com- 

 munication. Cette réponse, je la ferai ailleurs ; je craindrais d'abuser des 

 moments de l'Académie, en lui demandant plus longtemps son attention. 

 Qu'il me soit cependant permis de présenter quelques observations. 



» En se rapportant à ma Note du i4 février, on reconnaît que si je n'ai 

 voulu considérer avec quelques détails que les surfaces à lignes de courbure 

 sphériques, je n'ai pas du moins entièrement passé sous silence les surfaces à 

 lignes de courbure planes et spbériques, puisque j'ai dit deces surfaces qu'on 

 les obtiendrait de la même manière; et de même que si, pour les surfaces à 

 lignes de courbure sphériques, je me suis borné au cas général, j'ai du moins 

 reconnu qu'il y avait des cas particuliers, puisque j'ai dit (page 292, ligne 1 7), 

 « laissant de côté les cas particuliers». Voici maintenant pourquoi, dans les 

 limites entre lesquelles je devais rester, j'ai préféré parler des surfaces à 

 lignes de courbure sphériques. Depuis longtemps, je connaissais un grand 

 nombre de surfaces à lignes de courbure planes et sphériques; ces surfaces 

 s'étaient présentées pour ainsi dire d'elles-mêmes dans l'étude que j'avais 

 faite dans deux Mémoires précédents des surfaces à lignes de courbure 

 planes; ainsi, les surfaces enveloppes de sphères de mon premier Mémoire, 

 les surfaces du premier cas, quelques-unes du deuxième, celles du troi- 

 sième cas de mon deuxième Mémoire, ont leurs lignes de deuxième cour- 

 bure sphériques; j'avais remarqué ces différentes propriétés, et j'avais même 

 cru un instant, comme je l'énonçais à cette époque à plusieurs géomètres, 

 que toutes les surfaces dont les lignes de la première courbure sont dans 

 des plans qui passent par une droite ou qui enveloppent un cône, avaient 

 leurs lignes de seconde courbure sphériques, ce qui n'est pas exact. Quoi 

 qu'il en soit, on comprend que lorsqu'une analyse directe appliquée à la 

 recherche des surfaces à lignes de courbure planes et sphériques ne m'eût 

 conduit qu'aux surfaces qui m'étaient déjà connues (les surfaces de Monge 

 et la surface développable ne sont qu'un cas particulier des surfaces du 

 troisième cas de mon deuxième Mémoire), je ne dus naturellement atta- 

 cher qu'une importance secondaire à mon résultat; mais il n'en était pas de 

 même des surfaces à lignes de courbure sphériques. Ces surfaces étaient 

 nouvelles pour moi; d'ailleurs, tandis que la méthode que M. Serret avait 

 employée pour les surfaces à lignes de courbure planes suffisait pour les 

 surfaces à lignes de courbure planes et sphériques, j'avais besoin ici d'une 

 considération nouvelle, celle de la transformation par rayons vecteurs réci- 

 proques qu'il fallait évidemment indiquer. Tout cela motive très-bien, si je 

 ne me trompe, l'esprit dans lequel ma Note du i4 février a été rédigée. 



