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croît indéfiniment. Cette circonstance singulière se présente lorsque la 

 fonction qu'on a développée en série passe brusquement d'une valeur à une 

 autre qui en diffère d'une quantité finie, lorsque x passe par la valeur 

 particulière a. 



» Dans ce cas exceptionnel, si la fonction a été développée en une série 

 procédant suivant les sinus et cosinus des multiples de x, on sait que la 

 valeur a substituée dans tous les termes, donne pour limite de leur somme, 

 la moyenne entre les deux valeurs correspondantes de la fonction pro- 

 posée. Mais si, au lieu de cela, on prend la somme des n premiers termes, 

 et que l'on y substitue à x une fonction indéterminée de n qui devienne 

 nulle pour n infini, on peut démontrer facilement, par des considérations 

 déjà indiquées par Fourier, dans sa Théorie de la Chaleur, que l'on pourra 

 obtenir pour limite de la somme toutes les valeurs comprises entre les deux 

 valeurs de la fonction développée. 



» Il en serait de même dans le cas plus général où les termes de la série 

 ne seraient pas les sinus et cosinus des multiples de x. 



» Ainsi, comme nous l'avions annoncé, les deux manières de procéder 

 ne donnent pas le même résultat, dans le cas singulier que nous considé- 

 rons, et l'on tomberait dans des contradictions manifestes, si l'on ne défi- 

 nissait pas avec précision l'objet de la recherche que l'on se propose. 



» Si l'on entend que l'on donne successivement à x toutes les valeurs 

 possibles, et qu'on somme la série après la substitution, on doit dire, dans 

 le cas qui nous occupe, que la valeur de cette somme est discontinue. Si, 

 au contraire, on considère la somme des n premiers termes, en y mettant 

 pour a: une fonction indéterminée de n qui tende vers la valeur que l'on a 

 en vue, à mesure que n croît, on doit dire que la somme est continue, et 

 que sa valeur est indéterminée quand on substitue à x une valeur à laquelle 

 correspondent deux valeurs de la fonction développée. 



» En cherchant un caractère qui pût servir à reconnaître ces valeurs par- 

 ticulières de x, je suis arrivé à la proposition suivante, qui, je crois, n'avait 

 pas encore été énoncée : 



« Si l'on a développé en série une fonction de x, qui, pour une valeur 

 » exceptionnelle a de x, ait deux valeurs différentes A, B; si, de plus, 

 » quand on fait x = a dans tous ses termes, cette série donne une valeur 

 » déterminée différente de A et de B, comme cela arrive, par exemple, 

 » dans les séries qui procèdent suivant les sinus et cosinus des multiples 

 » de x ; la série formée des dérivées par rapport à x, de tous les termes 

 » de la première, donnera une valeur infinie lorsque l'on substituera a à x 



