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 par des sries limites convergentes ou mme divergentes. Entrons ce 

 sujet dans quelques dtails. 



Pour qu'une fonction donne Z de l'exponentielle trigonomtrique z 

 soit dveloppable en une srie convergente ordonne suivant les puissances 

 ascendantes et descendantes de z, il suffit que cette fonction Z reste mono- 

 drome et monogne dans le voisinage de la valeur i attribue au module de z. 

 Sous cette condition, le coefficient A de z" dans le dveloppement sera la 

 moyenne isotropique entre les diverses valeurs du produit z~"Z, et cette 

 moyenne isotropique ne variera pas si, aprs avoir remplac le module i 

 de z par un autre module r, on fait varier celui-ci entre deux limites, l'une 

 infrieure, l'autre suprieure l'unit, mais tellement choisies que la fonc- 

 tion Z ne cesse pas d'tre monodrome et monogne. Ces deux limites du 

 module r sont inverses l'une de l'autre, c'est--dire de la forme 



et , 



a 



lorsque Z est une fonction relle de l'angle p ; et je prouve que leur consi- 

 dration fournit prcisment le moyen de dvelopper le coefficient A, 

 quand n est un trs-grand nombre, en une srie convergente ou diver- 

 gente, mais qui dcrot trs-rapidement dans ses premiers termes. Je montre, 

 de plus, comment, aprs avoir prolong cette srie jusqu' un terme num- 

 riquement insensible, ou, si elle est divergente, jusqu' son plus petit 

 terme qu'il est facile de reconnatre, on peut la complter par un reste qui 

 est gnralement de l'ordre du dernier des termes conservs, et que j'ap- 

 prends dvelopper en une srie nouvelle, toujours convergente; enfin, je 

 montre comment on peut fixer l'avance le terme auquel on doit s'arrter 

 ou dans la premire srie, ou du moins clans la seconde, pour obtenir, 

 avec une approximation donne, la valeur cherche du coefficient A. 



Jusqu' prsent, nous avons suppos qu'il s'agissait de dvelopper une 

 fonction priodique suivant les puissances ascendantes d'une seule expo- 

 nentielle trigonomtrique z. Si, la fonction propose renfermant deux expo- 

 nentielles de ce genre, par exemple z et z, , on tait forc de la dvelopper 

 suivant leurs puissances ascendantes; alors, aprs avoir trouv le coefficient 

 \ de s", il resterait encore dvelopper A suivant les puissances ascen- 

 dantes de z, , et dterminer, pat exemple, dans ce dveloppement le coeffi- 

 cient A , , de z','. ou le coefficient A , _, de z-,". . Or ce dernier problme est 

 lui-mme du nombre de ceux dont la solution, quand n, est un trs-grand 

 nombre, semble exiger un travail immense. Je fais voir qu'on peut encore 



