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D'ailleurs on ne diminue pas la gnralit de l'quation (i) en rduisant le 

 paramtre t l'unit, et l'quation elle-mme la forme 



(4) z - k - f (z) = o. 



Alors la srie de Lagrange est prcisment celle qui a pour terme gn- 

 ral e. 



En recherchant les conditions de convergence de cette srie dans les 

 Mmoires de Berlin de 1768, Lagrange a considr spcialement le cas o, 

 la constante k tant relle, la fonction f (z) est de la forme 



(5) (z) = Az a + Bz b +... + Hz h . 



Dans ce cas, en dveloppant la n leme puissance de f (A), et eu effectuant les 



diffrentiations indiques dans le second membre de la formule (2) ou (3), 



on obtient pour un certain polynme. Nommons T n celui des termes de 



ce polynme qui offre la plus grande valeur numrique, ou, mieux encore, 



le plus grand module; et soit Si la limite vers laquelle converge, pour des 



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valeurs croissantes du nombre entier n, le module de T. D'aprs la rgle 

 nonce par Lagrange, dans les Mmoires de 1768, la srie dont le terme 

 gnral est > sera convergente quand on aura Si < 1 , divergente quand on 

 aura SX > 1 . 



Cette rgle serait exacte si on l'appliquait, non plus la srie de 

 Lagrange, mais celle dont le terme gnral est T. 



En consquence, la rgle de Lagrange pourra tre admise, quand les 

 sries dont les termes gnraux sont et T n offriront le mme module Si. 

 Alors elles seront, gnralement, toutes deux la fois, ou convergentes ou 

 divergentes. 



Concevons maintenant que, les modules des coefficients 



A, B,..., H, 

 tant reprsents par 



A, B,..., H, 



on pose, pour abrger, 



(6) ? (z) = Az a + Bz 6 + ... +Hz A . 



Le nombre ci-dessus dsign par Si sera prcisment le module qu'acquerra 

 le rapport 



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