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Observations sur la srie de Lagrange. Si, dans l'quation (9), on dcom- 

 pose le paramtre k en deux parties h, l, cette quation deviendra 



(ia) z = h-+- 1-+- tz 2 . 



Nommons z u celle de ses racines qui, dveloppe en srie par la formxde de 

 Lagrange, fournit un dveloppement dont h est le premier terme. La racine 

 z ir se confondra, pour une valeur nulle, ou pour une valeur trs-petite 

 de l, avec la racine z, dtermine par la formule (1 1), et l'on aura 



(,3) v==z, 



jusqu'au moment o l'une des deux sries dont les sommes sont repr- 

 sentes par z ; , z t/ , cessera d'tre convergente. D'ailleurs, comme on l'a vu, 

 la premire de ces deux sries sera convergente, tant que la condition (10) 

 sera vrifie. Quant la seconde srie, il suffira videmment, pour l'obte- 

 nir, de dvelopper suivant les puissances ascendantes de a celle des racines 

 de l'quation . 



(i4) z = h-ha{l-h tz 2 ), 



qui se rduit la constante h, pour une valeur nulle de a, puis de poser 

 ensuite a = 1 . On aura en consquence 



, -, 1 y' ihta. Llto? 



(i5) z = " 



7.t a. 



a devant tre rduit l'unit, quand on aura dvelopp le radical suivant 

 les puissances ascendantes de a. Il reste trouver sous quelle condition le 

 dveloppement ainsi obtenu sera convergent. Or, pour y parvenir, il suffira 

 de dcomposer en facteurs simples la quantit renferme sous le radical, 

 c'est--dire le trinme 



1 (\hta. l\lta}, 



considr comme fonction de a. En effectuant cette dcomposition, l'on 

 trouvera 



(16) 1 4 h ta. 4 Ita 2 = [1 2 {ht +- s)a][i i{ht s) a], 



la valeur de s 2 tant 



(17) s 2 = h 2 t 2 -hlt; 



