(63 7 ) 



Cette dcouverte, disait Jacobi, n'a, je crois, t bien comprise, ni par 

 Lagrange, ni par les nombreux gomtres qui l'ont cite, ni par son au- 

 teur lui-mme. Le thorme dont je parle me semble, ajoutait-il, le plus 

 important de la mcanique et de cette partie du calcul intgral qui s'at- 

 tache l'intgration des quations diffrentielles. Toutefois, on ne le 

 trouve ni dans les Traits de calcul intgral, ni dans la Mcanique analy- 

 tique. Comme ce thorme ne servait qu' tablir une autre proposition, 

 dont Lagrange avait donn une dmonstration plus simple, celui-ci n'en 

 parle dans sa Mcanique que comme d'une preuve d'une grande force 

 analytique, sans trouver ncessaire de le faire entrer dans son ouvrage, 

 et, depuis, tout le monde le regardant comme un thorme remarquable 

 par la difficult de le prouver, et personne ne l'examinant en lui-mme, 

 ce thorme prodigieux, et jusqu'ici sans exemple, est rest la fois d- 

 couvert et cach. 



Le thorme auquel ces lignes se rapportent est dmontr dans le pre- 

 mier Mmoire de Poisson sur la variation des constantes arbitraires. Il 

 consiste en ce que, deux intgrales d'un problme de mcanique tant don- 

 nes, on peut, sans intgrations nouvelles, former une expression dont la 

 valeur soit constante, ce qui, en gnral, fournit une troisime intgrale. 

 Cette troisime intgrale, combine avec une des deux premires, pourra 

 conduire une quatrime, celle-ci une cinquime, et ainsi de suite, jus- 

 qu' ce que le problme soit entirement rsolu. 



On comprend qu'il y a, dans cet nonc, de quoi justifier l'enthou- 

 siasme de Jacobi. Il est peu de problmes de mcanique dont on ne con- 

 naisse deux intgrales, et qu'on ne puisse, par consquent, rsoudre par 

 cette mthode, si elle n'tait jamais en dfaut. Malheureusement, il existe 

 des cas d'exception beaucoup plus nombreux, comme on le verra dans ce 

 Mmoire, que ceux auxquels la mthode s'applique. 



L'quation fournie par le thorme de Poisson peut conduire, de deux 

 manires diffrentes, une intgrale illusoire. Il peut arriver qu'elle se 

 rduise une identit telle que = 0, ou qu'elle donne une intgrale qui 

 rentre dans celles qui l'ont fournie, et n'avance, par consquent, en rien 

 la solution du problme. Je fais voir que ces deux cas rentrent, au fond, 

 l'un dans l'autre, et que, pour les tudier, il suffit de chercher les intgrales 

 qui conduisent des quations identiques. J'indique le moyen de trouver 

 l'une de ces intgrales lorsque l'autre est connue, et je prouve qu'il en existe 

 toujours. J'applique ensuite la mthode plusieurs problmes. 



Je considre d'abord le mouvement d'un point matriel attir vers un 



C. R. , i85i, i Semestre. ( T. XXXIV, N' 17.) 85 



