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 telles, que la fonction f (z, u) ne cesse pas d'tre monodrouue, monogne et 

 finie. Le module de la moyenne isotropique 



3Tv3L{{z, u) 



sera infrieur au module Af(z, m), et, plus forte raison, au module 

 principal K. 



2 e Thorme. Soit f (z) une fonction de z qui demeure monodrome, 

 monogne et finie dans le voisinage d'un certain modide r attribu la va- 

 riable z. Soient encore 



a , a_ 



les coefficients des puissances 



, n 



dans le dveloppement de f (z) suivant les puissances ascendantes et descen- 

 dantes de z. Si a n , a_ se rduisent des quantits positives, le. module de 

 Olf(z) sera infrieur la quantit positive f (r). Si les coefficients a n , a_ n 

 ne se rduisent pas des quantits positives, alors, en dsignant par a, a_ n 

 leurs modules respectifs, et par <p (z) la somme de la srie que l'on forint 

 en remplaant, dans le dveloppement de f (z), chaque coefficient par son 

 module, on obtiendra, pour module de 3Ttf (z), une quantit positive inf- 

 rieure au module de tly (z), et, plus forte raison, <p (r). 



Ajoutons qu'il sera facile de dvelopper f (z) en srie ordonne sui- 

 vant les puissances ascendantes et descendantes de z, si f (z) est le produit 

 d'une constante par divers facteurs dont les uns soient de la forme 



o -*,*-)", 



et les autres de la forme 



(i -z'zy, 



z , z' tant des quantits gomtriques dont les modules a, a', multiplis 

 par le module r de z, offrent des produits infrieurs l'unit. Alors, en 

 effet, le dveloppement de f(z) rsultera immdiatement de la multipli- 

 cation des dveloppements des divers facteurs en sries ordonnes suivant 

 les puissances descendantes ou ascendantes de z. 



Il est ais de voir comment les propositions que je viens de rappeler 

 s'appliquent la dtermination approximative des restes qui compltent 

 les sries limites, spcialement des restes dsigns par p m et par q, dans 

 les deux prcdents articles, et de limites suprieures aux modules de ces 



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