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 i er Thorme. Soient z une variable relle ou imaginaire, et 



u, v, w,..., 



n fonctions de z assujetties i avarier avec z par degrs insensibles, en vri- 

 tiant les n quations diffrentielles comprises dans la formule 



, . dz du dv div 



V 1 ) % = .X3 = ^? = = '"' 



. 



tincte de zro, sensiblement gale au module qu'acquerra la fonction drive D pour une 



valeur nulle de z. Donc, en assignant r une valeur suffisamment petite, on reconnatra que 



la formule (c) doit tre rejete, en sorte qu'il est impossible d'attribuer U et tp(z) des 



valeurs distinctes de zro. 



Au cas spcial que nous venons d'examiner, substituons maintenant le cas plus gnral o, 

 le nombre n des variables u, c, w,... tant quelconque, l'on aurait encore z = o, et o, la 

 fonction monodrome et monogne % conservant, pour des valeurs nulles de z, u, v , w,... 

 une valeur finie, distincte de zro, les fonctions monodromes et monognes O, "9, #,... 

 s'vanouiraient toutes, quel que soit z, pour des valeurs nulles de u, v, w, Alors, par 

 des raisonnements analogues ceux qui prcdent, et en substituant au module de u la somme 

 des modules de a, de <>, de w,... on prouverait encore qu'il n'est pas possible, dans l'hypo- 

 thse admise, de satisfaire aux quations diffrentielles 



Xi O ty 



(d) v du = dz, dv = dz, div ~dz, .. 



par des valeurs de u, v, w,... qui s'vanouissent avec z, sans tre constamment nulles, et 

 varient avec z par degrs insensibles dans le voisinage d'une valeur nulle de z. 



Considrons enfin le cas o, le valeurs particulires z 0> <,, v t>, <"<,> e z, a, c, w t ... 

 tant distinctes de zro, ainsi que la valeur correspondante de a, les fonctions %, , <?, *S>, . . . 

 seraient, au moins dans le voisinage de ces valeurs particulires, des fonctions monodromes, 

 monognes et finies ; et soient alors 



. " = T( Z )> l ' = x( 2 )' "== + (*)>' 

 les intgrales gnrales des quations (d ) , dduites de ces quations , l'aide de la mthode que 

 renferme le Mmoire de i835. On pourra encore affirmer qu'il n'existe point d'autre systme 

 d'intgrales gnrales, c'est--dire qu'on ne saurait trouver d'autres valeurs de u, i>, w,... 

 qui, variant avec z par degrs insensibles, remplissent la double condition de vrifier les 

 quations (d), quel quesoitz, et de se rduire , e, ',... pour z = z; et, pour le d- 

 montrer, il suffira de raisonner comme dans le cas prcdent, en substituant aux variables 



z , , f>, ', . . 

 les diffrences 



z z t , U T (z), v x (z), iv +(),..., 



dont chacune pourra tre, pour plus de commodit, reprsente par une seule lettre. 



