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Lagrange exprime l'une des racines d'une quation algbrique ou trans- 

 cendante, puis il avait dduit de son analyse le caractre propre de cette 

 racine, dans le cas o elle est relle. Il avait ainsi reconnu l'inexactitude 

 d'une proposition nonce dans la Note XI de la Rsolution des quations 

 numriques [dition de 1802, page 227], savoir, que la racine dont il s'agit 

 est la plus petite, abstraction faite du signe, et il avait substitu cette asser- 

 tion de Lagrange une proposition nouvelle qui mrite d'tre remarque. 



Dans le Mmoire dont nous avons aujourd'hui rendre compte, 

 M. Flix Chio considre un cas spcial trait par Lagrange, dans les 

 Mmoires de Berlin de 1768, savoir le cas o, l'quation rsoudre tant 

 prsente sous la forme 



(1) u x -+- ((x) sa o, 



et le paramtre u tant rel, la fonction f (or) est elle-mme relle et de la 

 forme 



f(x) = Jx a ->r Bx b -k.. v -+- Hx h . 

 Dans ce cas, le terme gnral de la srie, c'est--dire l'expression 



1.2... n 



se transforme en un polynme dont les divers termes, ajouts les uns aux 

 autres, reproduisent cette expression mme. Or, si l'on substitue celle-ci 

 ou les divers termes dont elle est la somme, ou seulement celui de ces termes 

 qui offre le plus grand module, on obtiendra, dans la premire hypothse, 

 une srie multiple, dans la seconde hypothse, une srie simple, mais dis- 

 tincte de la srie de Lagrange. La nouvelle srie simple dont nous venons 

 de parler est prcisment celle que Lagrange a substitue sa propre srie, 

 dans les Mmoires de 1 768. Lagrange a suppos que ces deux sries simples 

 doivent tre toutes deux la fois ou convergentes ou divergentes. Mais, 

 comme l'observe trs-bien M. Chio, cette supposition ne saurait tre gn- 



ble, j'ai dit qu'elle demeure convergente quand le module du paramtre est infrieur au plus 

 petit de ceux qui introduisent des racines gales dans l'quation donne. Cette proposition est 

 exacte. Mais il convient d'ajouter, avec M. Chio, que la srie de Lagrange demeure conver- 

 gente, quand le module du paramtre est infrieur au plus petit de ceux qui rendent gales 

 deux racines dont l'une est prcisment la somme de la srie. Telle est, en effet, la cons- 

 quence qui se dduit naturellement du simple nonc du thorme gnral. A.-L. C. 



