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tous. Mais les mthodes dont je parle ne donnent pas la valeur gnrale de 

 RR, , et ce n'est pas sur le point de dtail auquel elles conviennent que je 

 dsire appeler l'attention de l'Acadmie. La question vraiment importante 

 que l'on devait ici se proposer, tait d'arriver, avec beaucoup moins de 

 calcul, la formule que M. Gauss a trouve pour exprimer le produit RR,, 

 quelles que soient les variables u, v ; on devait aussi chercher crire le 

 rsultat sous une forme nette et concise ; enfin , on avait rattacher l'ex- 

 pression obtenue d'autres quantits gomtriques. 



Je crois avoir atteint le but propos. A l'aide d'un calcul assez facile, 

 et qui fournit d'ailleurs d'autres rsultats importants, je trouve qu'en po- 

 sant D = ^EG-F 2 , on a 



fdG F dG _ rfF\ j_ d_ t_ /dE F dG\ 

 \ du + G dv ~ ' 2 dp ) 2D ' ~dv D \d ~~G~d)' 



i I d t_ fdG F dG rfF\ i d i (dE F ^G' 



RR^ ~ D'D 



Ds prsent, et sans avoir besoin de connatre ma mthode, les 

 gomtres peuvent vrifier cette formule. Ils n'ont qu' dvelopper les dif- 

 frentiations indiques, et ils retrouveront la longue formule de M. Gauss, 

 dont je donne ainsi l'ex.pression concise. 



Maintenant, soit ple rayon de courbure godsique de la ligne (u) , 

 je veux dire de la ligne trace sur la surface, en vertu de cette condition 

 u = constante ; soit de mme p v le rayon de courbure godsique de la 

 ligne (p); enfin, soit w l'angle sous lequel les deux lignes (u) et (t> ) se 

 coupent. Je dmontre que l'quation ci-dessus revient celle-ci : 



D d 2 o> d ( v/\ d 



RR | du dv ' dv \ p, / du 

 On a encore 



D _ d /VeY d 





p a dsignant le rayon de courbure godsique d'une ligne qui d'abord tan- 

 gente la ligne (v) s'en carterait ensuite, du moins si l'angle u est variable, 

 pour couper toutes les courbes ( u) sous un mme angle. Cela rappelle une 

 formule du mme genre que j'ai donne dans les Notes de la cinquime di- 

 tion de X Analyse applique de Monge; mais je supposais alors l'angle w 

 droit, tandis qu' prsent il est quelconque. 



Peut-tre est-il bon de rappeler le sens que j'attache ces mots rayon 

 de courbure godsique, et en mme temps de fixer le signe que les rayons 

 Put pv, ?<* doivent prendre dans nos formules. Soient i l'angle sous lequel 

 une courbe donne coupe les courbes [u] ; + di ce que cet angle devient 



