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mode pour les applications. Le systme orthogonal primitif tant donn 

 par les valeurs de trois coordonnes rectilignes, en fonction des trois anciens 

 paramtres, j'obtiens les valeurs de ces mmes coordonnes, dans le sys- 

 tme cherch, par des sries dveloppes suivant les puissances ascendantes 

 de celui des trois nouveaux paramtres, dont la valeur zro donne la sur- 

 face propose. Les termes successifs de ces sries contiennent des fonctions 

 arbitraires, assujetties vrifier une certaine quation aux diffrences par- 

 tielles du second ordre, deux variables, fournie par la thorie des surfaces 

 orthogonales. Chaque terme introduit une fonction de cette nature, qui 

 entre dans tous les termes suivants, soit directement, soit par ses diffren- 

 tielles partielles, soit par d'autres fonctions qui s'en dduisent l'aide de 

 l'intgration. 



On voit combien cette solution est gnrale ; mais on comprend aussi 

 que, pour l'utiliser, il faudrait sommer les trois sries, ou les prsenter sous 

 forme finie. Je ne suis parvenu effectuer cette sommation que dans le cas 

 o l'on se borne une seule fonction, la premire introduite. Ce succs 

 me fait esprer que l'on parviendra sommer le cas gnral. 



En rsum, au premier systme orthogonal, o la surface donne, mais 

 d'ailleurs quelconque, se trouve conjugue aux deux groupes de surfaces 

 dveloppables formes par ses normales, j'en joins d'autres dans lesquels 

 aucune surface n'est dveloppable , et je fais voir qu'il existe une infinit o^e 

 systmes semblables, remplissant tous la condition pose, c'est--dire tels 

 que la surface fixe, forme, avec celle qui l'avoisine, une couche d'gale pais- 

 seur. Cette couche, infiniment mince, est commune tous les systmes 

 trouvs , lesquels sont en quelque sorte tangents entre eux , et c'est un 

 genre de contact qui me semble se prsenter ici pour la premire fois. 



Les rsultats que je viens d'noncer, sont obtenus sans rien spcifier 

 sur la nature de la surface donne, et l'aide des formules relatives aux 

 coordonnes curvilignes. Ils donnent un nouvel exemple de l'utilit de ces 

 formules, et des ressources qu'elles peuvent offrir aux gomtres. 



On reconnat aisment, dans beaucoup de travaux mathmatiques de 

 notre poque, qui concernent l'analyse applique, une tendance se dbar- 

 rasser des coordonnes rectilignes et polaires, leur substituer des para- 

 mtres, constants sur certains lieux gomtriques, lignes courbes ou sur- 

 faces, et variables d'un de ces lieux gomtriques un autre de la mme 

 famille. C'est par des substitutions de cette nature qu'on est parvenu tu- 

 dier de plus prs, et avec une simplicit merveilleuse, les proprits des 

 surfaces courbes, et celles des diverses lignes qu'elles peuvent contenir; 



