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les autres intgrales rectilignes tant indpendantes des positions des deux 

 points extrmes. 



Si le point R concide avec le point P, la courbe continue PQR sera 

 une courbe ferme. Si, de plus, on a 



u g. 



la somme des valeurs de fudz correspondantes aux deux droites C f ' n, P, PC, 

 sera prcisment la valeur correspondante la droite C (m) C; et l'on obtien- 

 dra la proposition suivante. 



3 e Thorme. Les mmes choses tant poses que dans le 2 e thorme, 

 si la courbe PQR est ferme, en sorte que ses extrmits P, R concident, et 

 si de plus la fonction u reprend la mme valeur quand le point mobile Z 

 reprend sa position initiale P, l'intgrale curviligne S, devenue indpendante 

 de la position du point P, sera la somme des valeurs de l'intgrale rectiligne 

 fudz correspondantes aux droites 



C'C", C"C'",..., c (m, c. 



Il est bon d'observer que dans chaque intgrale rectiligne on peut in- 

 troduire la place de la variable z une variable relle dont les limites soient 

 zro et l'unit. Ainsi, par exemple, l'intgrale rectiligne fudz, tendue 

 tous les points de la droite C'C", ou, en d'autres termes, l'intgrale dfinie 



r 



de' 



udz 



se rduira simplement au produit 



(c"-c') f'udO, 



dO 



si l'on pose 



z = c' + (c"-c')Q. 



Par suite, si l'on nomme z , z, les valeurs de z correspondantes aux extr- 

 mits P, R de la courbe PQR, et z', z",..., z (m) les valeurs de z correspon- 

 dantes aux points intermdiaires Q', Q",..., Q (m) , l'intgrale curviligne 

 S = fuT> s zds, tendue tous les points de la courbe, pourra tre, en vertu 

 du I er thorme, dtermine non -seulement par l'quation 



Ugdz -+- I u h dz -+- . . . + / udz, 



z dz Jzi--) 



C. R., i85i, i r Semestre. (T. XXXII, JN 3.) IO 



