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 tiel de u z sera, dans la premire hypothse, 



T) x v + iD x u>, 



et, dans la seconde hypothse, 



D.v + itt.w y. n 



A : ' = D r w iD y v. 



i T x 



Ajoutons que, si ces deux valeurs particulires du rapport diffrentiel de u 

 z sont gales entre elles, ce rapport deviendra indpendant de la direc- 

 tion suivie par le point mobile, et se rduira simplement une fonction 

 des deux variables x, y. 



Dans ce cas particulier, on aura 



D x v = D } w, D r f = D^w; 

 par consquent, 



T> x v -+- ) v = o, D^ w + W r w o, 

 et 



Di + D} = o. 



Donc alors la fonction u de z sera en mme temps une fonction de jc, y 

 qui vrifiera une quation aux drives partielles du second ordre, el repr- 

 sentera une intgrale de cette quation. 



C'est ce qui arrivera ordinairement, si les variables imaginaires u et z 

 sont lies entre elles par l'quation qu'on obtient eu galant zro une 

 fonction toujours continue de ces deux variables. 



Les principes que je viens d'exposer confirment ce que j'ai dit ailleurs 

 sur la ncessit de mentionner la drive d'une fonction de z, clans le 

 thorme qui indique les conditions sous lesquelles cette fonction peut tre 

 dveloppe en une srie ordonne suivant les puissances ascendantes de z. 

 C'est, au reste, ce que j'expliquerai plus en dtail dans un autre article, o 

 je dduirai des principes dont il s'agit les proprits diverses des fonctions 

 d'une variable imaginaire et de leurs intgrales dfinies. 



CALCUL INTGRAL. addition au Mmoire sur les fonctions irrationnelles , 

 et sur leurs intgrales dfinies; par M. Augustin Cauchy. 



Le thorme nonc la page 1 26 s'tend au cas mme o u est une 

 fonction de z, dtermine non par une seule quation algbrique, mais par 



