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pour un module de t compris entre deux limites donnes r\ R, la Jonc- 

 tion <p (t) pourra tre dcompose en trois parties dont la premire sera 

 exprime par le rsidu intgral 



() W " 



tandis que les deux dernires auront pour dveloppements deux sries tou- 

 jours convergentes, ordonnes l'une suivant les puissances ascendantes , 

 l'autre suivant les puissances descendantes de la variable t. D'ailleurs, le r- 

 sidu('i[\)sera une somme de fractions simples, qui offriront, avec des num- 

 rateurs constants, des dnominateurs reprsents ou par les diverses valeurs 

 du binme t z, correspondantes celles des racines de l'quation 



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dont les modules seivnt compris entre les limites r , R, ou par des puissances 

 de t z, si quelques-unes des racines dont il s'agit deviennent gales entre 

 elles. Cela pos, il est clair que l'quation (5 ) fournit simultanment la tho- 

 rie de la dcomposition des fractions rationnelles, ou mme des fonctions 

 transcendantes en fractions simples, la srie de Taylor avec le thorme sur 

 la convergence de cette srie, et le thorme de M. Laurent. 



Soit maintenant t une valeur particulire de t ; et supposons qu'aprs . 



avoir remplac, clans la formule (20) la fonction <p (z) par ^4-r' on intgre 



les deux membres par rapport t, partir de t = t. Alors, en passant des 

 logarithmes aux nombres, on trouvera 



> . fit) T, T 



( M ) ^l=e n, 



T, T tant les sommes de deux sries convergentes ordonnes, la premire 

 suivant les puissances ascendantes et positives, la seconde suivant les puis- 

 sances descendantes et ngatives de t, et II .tant nn produit dtermin par- 

 la formule 



wj ' =(:-)" (S:r (S:)"'- r^r^r-- 



dans laquelle z,, z 2 ,... d'une part, et z', z",... de l'autre, dsignent les 

 valeurs de z qui vrifient comme racines, d'une part la premire, d'autre 



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