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Lorsque la fonction sous le signe / reste continue dans le voisinage 

 d'un point quelconque situ l'intrieur de l'aire S, on est libre de faire 

 varier cette aire de manire la rendre infiniment petite avec le contour 

 qui l'enveloppe et avec l'intgrale f f(z) dz tendue tous les points de ce 

 contour. Donc, alors, cette intgrale, tendue tous les points du contour 

 donn, offre une valeur nulle. 



Concevons maintenant que l'aire S tant dcompose en plusieurs par- 

 ties, A, B, C, ..., on nomme (S) la valeur"qu'acquiert l'intgrale ff(z)dz, 

 lorsque le point mobile Z, aprs avoir parcouru le contour de l'aire S avec 

 un mouvement de rotation direct autour de cette aire , revient sa position 

 primitive, et (A), (B), (C), ..., ce que devient (S) quand, au contour de 

 l'aire (S), on substitue le contour de l'aire A, ou B, ou C, ..., on aura 



(S) = (A) + (B) + (C) + ..., 



pouivu que la fonction J \z) reste finie en chaque point de chaque contour, 

 [hoiries Comptes rendus de 1846, sance du 21 septembre, page 563.] 



D'autre part, comme il est dit dans le Mmoire du 2 1 septembre 1 846, 

 la Jonction J (z) peut devenir discontinue dans le voisinage de certaines va- 

 leurs de z correspondantes certains points Q, B, . . . de l'aire S, soit en deve- 

 nant infinie, soit en changeant brusquement de valeur. Dans le premier cas, 

 les points Q, B,... sont ncessairement des points isols P',P",.- Dans le se- 

 cond cas, ils sont contigus les uns aux autres, et situs sur une ou plusieurs 

 lignes droites ou courbes O'O"..., dont les longueurs peuvent tre finies... 

 Cela pos, on pourra gnralement partager l'aire S en lments A , B, C, . . . et 

 A,b,c,...,les uns finis, les autres infiniment petits, les lments finis A, B, C, . . 

 tant choisis de manire que la fonction f (z) reste finie en chaque point de 

 chacun d'entre eux, et les lments infiniment petits a, b, c,... tant ou des 

 surfaces qui s'tendront infiniment peu dans tous les sens autour des points 

 isols, ou des surfaces infiniment troites, dont chacune renfermera dans 

 son intrieur une des courbes O' ()". . . ou une portion de l'une de ces courbes. 

 Ce partage tant opr, la formule ci-dessus rappele donnera 



(S) = (a)-h(b) + (c) + ... 



puisque les intgrales correspondantes des lments finis Y, B, C,... de 

 l'aire S s'vanouiront; et la dtermination de l'intgrale [S) se trouvera rduite 

 la dtermination des intgrales singulires (a), (b ), (c), . . . , dont les valeurs, 

 quand elles seront finies, sans tre nulles, se dduiront du calcul des rsidus, 

 s'il s'agit d'lments qui renferment les points isols P', P ", . . . , ou, dans le cas 



