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point P, l'intgrale judz } tendue tous les points de la courbe ne variera 

 pas, pourvu que la jonction u reste finie et continue en chacun des points 

 successivement occups par la couibe variable. 



Le thorme ici rappel permet effectivement de rduire la dtermina- 

 tion des indices de priodicit l'valuation de certaines intgrales singu- 

 lires du premier ou du second ordre, et cette valuation mme celle 

 d'intgrales dfinies rectilignes. Ajoutons que, dans le cas o l'int- 

 grale fu //s acquiert pour certaines positions du point mobile Z des valeurs 

 infinies, les intgrales rectilignes introduites dans le calcul sont gn- 

 ralement du nombre de celles que l'un de nous a nommes intgrales 

 p.r traordina ires . 



Aprs avoir montr comment on peut dcomposer l'intgrale /fe 

 tendue une courbe quelconque en intgrales lmentaires ou singu- 

 lires, M. Puiseux s'est propos de dterminer, pour diverses formes de 

 la fonction u suppose algbrique, les diverses valeurs de l'intgrale avec 

 les divers indices de priodicit. Le cas o la fonction u devient rationnelle 

 a\ait t dj compltement trait par l'un de nous dans les Mmoires 

 de 1846. Se rservant d'ailleurs de revenir plus tard sur ces questions 

 (Comptes rendus de 1846, page 787), il s'tait born, dans les autres cas, 

 indiquer la marche suivre par des applications (*) les thormes gn- 

 raux, dont quelques-unes seulement ont t insres dans les Comptes 

 rendus. 



M. Puiseux a repris la question au point o les publications dj faites 

 l'avaient laisse. Aprs avoir rappel, en les appliquant aux fonctions al- 

 gbriques, des thormes dj tablis dans les Comptes rendus de 1846, il y 

 a joint des propositions nouvelles dignes de remarque. Ainsi, par exemple, 

 en supposant une fonction de z rduite, par une valeur donne de -. 

 une racine dtermine d'une quation algbrique du degr ni. et cette mme 

 fonction assujettie avarier avec z par degrs insensibles, M. Puiseux prouve 

 que les diverses valeurs de l'intgrale curviligne et dfinie fudz prise 

 partir de z = c, peuvent se dduire ou de l'une d'entre elles, ou de celles 

 qu'on en tire quand la racine donne on substitue les autres racines, par 

 l'addition d'intgrales curvilignes et dfinies du mme genre, mais relatives 

 fies contours ferms. Ainsi, encore, en supposant que la fonction u re- 

 prenne sa valeur initiale aprs une rvolution du point mobile Z sur une 



(*') L'une de ces applications, relative aux fonctions elliptiques, et mentionne la 

 paye a74i sera reproduite par l'auteur, dans un prochain article. 



