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 I er Thorme. Soient N un nombre infiniment grand, et v ( , v w deux 

 quantits finies, affectes du mme signe. Supposons d'ailleurs qu'il soit 

 possible de choisir le nombre l de manire que, pour des valeurs relles et 

 intiment grandes de x, le produit 



x'f(x) 



acquire une valeur lime distincte de zro, et nommons 9 (x) ce que devient 

 le produit N'/(N.r) quand N devient infini. Enfin nommons n t , n t/ , ceux 

 des entiers compris entre les limites v,N, v w N qui sont les plus rapprochs 

 de ces limites. Le rapport de la somme 



n = n 



S fin) 



n= n, 



la quantit N 1- ' se rduira sensiblement, pour de trs-grandes valeurs 

 de N, l'intgrale dfinie 



X ,( p( v )< /v - 



On tablira de la mme manire la proposition suivante : 



2* Thorme. Soient x, y deux variables relles, f(x, y) une fonc- 

 tion de ces mmes variables, et N un nombre infiniment grand. Supposons 

 d'ailleurs qu'il soit possible de choisir l'exposant /, de manire que, pour 

 des valeurs relles et infiniment grandes de x, y, le produit 



N'/(N.x, Nj) 



conserve une valeur finie, et nommons ip [x, y) la limite dont cette valeur 

 s'approche indfiniment pour des valeurs croissantes de N. Soit encore 1 

 une aire termine dans le plan des xy par un certain contour PQR, ou com- 

 prise entre deux contours pqr, PQR, et admettons que l'origine des coor- 

 donnes soit un point extrieur l'aire A. Enfin, m, n tant deux nombres 

 entiers quelconques, construisons la srie double qui a pour terme gnral 

 f(m, n), et nommons 



S = S/(m, n) 



la somme des termes de cette srie correspondants celles des valeurs de 

 m et n qui sont de la forme 



m = fxN, n = vN, 



