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 donnes p., v, supposes rectangulaires, en coordonnes polaires, l'aide 

 d'quations de la forme 



[x = r cos p, v = r sin p, 



alors, en nommant v, , v w les valeurs de y correspondantes aux deux con- 

 tours pqr, PQR , on obtiendra pour v, , v v deux fonctions dtermines de 

 l'angle polaire p, et l'on tirera de la formule (i i), avec M. Cayley, 



() *= r f ]m -\ m ^ p. 



J_ n (a cos p -h b sin py 

 On aura donc 



fii) = o, 



si le rapport est constant, c'est--dire, si les deux courbes sont semblables 



l'une l'autre. 



Soient d'ailleurs S, , s les valeurs de que fournirait la formule (i i), 

 si l'on prenait successivement pour A l'aire renferme dans le contour pqr, 

 puis l'aire renferme dans le contour PQR. La valeur de chacune des 

 intgrales S, , S ff dpendra gnralement de l'ordre dans lequel seront effec- 

 tues les deux intgrations relatives aux variables p., v. Mais si l'on sup- 

 pose que cet ordre reste le mme dans la dtermination de S, et de b u , 

 alors la formule (i i) ou ( 1 1) on pourra substituer la suivante : 



(.4) = -,. 



dette dernire formule sera d'un usage trs-commode ; elle fournira , par 

 exemple, avec une grande facilit, la valeur de S, si, le contour pqr tant 

 rduit une circonfrence du cercle, le contour PQR est un rectangle dont 

 les cts soient parallles aux axes des x et des y. 



II. Application des formules obtenues dans le premier paragraphe. 



Soit z = x +ji la coordonne imaginaire d'un point mobile Z; soit 

 encore <p (z) une fonction de z qui demeure continue tant qu'elle ne de- 

 vient pas infinie, et admettons que le rapport diffrentiel de f (z) z 

 dpende uniquement des variables relles x, y. Enfin, en supposant les 

 quations 



() ?(*) = <>, (2) ^7) = ' 



. rsolues par rapport z, dsignons par Z le nombre des racines nulles de 

 l'quation (i);.puis nommons z t , z n , z m ,..., celles des autres racines de 



I ,v 



