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et la transcendante 9 (z) se trouve ainsi ramene aux fonctions elliptiques. 

 Par suite aussi, l'on peut rduire une fonction rationnelle de fonctions el- 

 liptiques, toute fonction doublement priodique qui reste toujours conti- 

 nue avec sa drive, tant qu'elle ne devient pas infinie (*). 



En partant des formules que nous avons rappeles, et substituant aux 

 priodes a, b les autres priodes qu'on peut introduire dans le calcul, en 

 dplaant les sommets du paralllogramme lmentaire ABCD, M. Hermite 

 obtient successivement sous diverses formes la valeur de la transcendante 

 9 (z). D'ailleurs la comparaison des diverses formes sous lesquelles se pr- 

 sente 9 (z), et de ses divers dveloppements, permet l'auteur d'tablir un 

 grand nombre de propositions nouvelles. L'une de ces propositions, trs- 

 digne de remarque, est relative l'intervalle dans lequel reste convergente 

 la srie qui reprsente le dveloppement de la fonction 9 (z) (**). 



En rsum, les Commissaires pensent que, dans le travail soumis leur 

 examen, M. Hermite a donn de nouvelles preuves de la sagacit qu'il avait 

 dj montre dans de prcdentes recherches. Ils pensent que ce travail est 

 trs-digne d'tre approuv par l'Acadmie, et insr dans le recueil des 

 Mmoires des Savants trangers . 



Les conclusions de ce Rapport sont adoptes. 



liemanjues de M. Lioivili.k. 



Sans s'opposer aux conclusions du Rapport, M. Liouville croit devoir 

 rappeler qu'il a, lui aussi, trouv depuis longtemps une thorie gnrale 

 des fonctions doublement priodiques, dont il a donn incidemment l'A- 

 cadmie, ds t844> propos d'un Mmoire de M. Chasles sur la construction 

 gomtrique des amplitudes des fonctions elliptiques, une vue trs-nette 

 qu'on retrouve au tome XIX des Comptes rendus (page 1261, sance du 



(*) Dj en i844> M. Liouville avait obtenu, par une mthode trs -diffrente de celle 

 qu'a suivie M. Hermite, et avait nonc, en prsence de ce dernier, la rduction ici 

 indique. 



(**) M. Hermite, aprs avoir fix l'intervalle dans lequel le dveloppement de la transcen- 

 dante 9(z) demeure convergent, prouve que, dans le cas o cet intervalle atteint sa valeur 

 maximum , le rapport entre cet intervalle et le plus petit ct d'un paralllogramme lmen- 



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 taire ne peut s'abaisser au-dessous de t / y M. Jacobi , dans une Lettre adresse M. Her- 

 mite, avait nonc une proposition qui concide avec ce thorme, et qui s'appliquait la 

 transcendante 6 (z). 



