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9 dcembre 1 844 ) La mthode que j'ai suivie, dit M. Liouville, est si 

 simple dans ses dtails, qu'elle pourra, je crois, sans inconvnient, venir 

 aprs d'autres, mme analogues, mais qui n'ont pas, ce me semble, le 

 caractre tout intuitif et lmentaire que j'ai donn la mienne en m'at- 

 tachant aller pas pas du simple au compos, par la considration 

 continuelle et toujours directe d'un seul principe. J'ai toutefois, on 

 le comprend, un certain intrt tablir, non pas que mon travail est 

 ancien, cela rsulte des Comptes rendus, mais que les dtails princi- 

 paux en ont t arrts depuis plusieurs annes, et ont t communiqus 

 trs-explicitement divers gomtres franais ou trangers. Or j'ai chez 

 moi, et je pourrai dposer sur le bureau, avant la fin de la sance, 

 une pice manuscrite qui paratra concluante cet gard. Deux go- 

 mtres allemands distingus, MM. Borchardt et Joachimsthal, pendant 

 leur voyage Paris en 1847, ont bien voulu sacrifier quelques heures 

 pour entendre l'exposition de ma doctrine, et M. Borchardt a rdig 

 les leons que j'tais ainsi conduit faire. J'avais permis M. Borchardt 

 de montrer cette rdaction qui il voudrait, et j'ai su de lui qu'elle a t 

 mise sous les yeux d M. Jacobi. Press par le temps, je n'avais pu parler 

 des intgrales elliptiques de seconde et de troisime espce. Mais cela 

 importe peu. J^a classification des fonctions bien dtermines double- 

 ment priodiques, d'aprs le nombre des valeurs irrductibles par les 

 priodes, mais d'ailleurs gales ou ingales, qui les rendent infinies; la 

 dmonstration de ce thorme capital, que toute fonction de ce genre 

 qui a moins de deux infinis doit se rduire une simple constante; la 

 proposition importante aussi, que le nombre des racines qui annulent 

 la fonction est toujours prcisment gal au nombre des infinis d^ cette 

 fonction, et que, de plus, les sommes des valeurs de la variable, relatives 

 ces deux circonstances d'une fonction nulle ou infinie, sont toujours 

 y gales entre elles aux multiples prs des priodes ; l'expression des fonc- 

 fions n infinis par des sommes ou par des produits de fonctions deux 

 infinis; la thorie dtaille des fonctions deux infinis et leur rduction 

 aux fonctions elliptiques, qui sont ds lors l'lment unique des fonc- 

 fions doublement priodiques un nombre d'infinis limit ; les thormes 

 sur l'addition et sur la transformation directe ou inverse, rendus pour 

 ainsi dire aussi simples que le problme d'algbre de former une frac- 

 tion rationnelle dont le numrateur et le dnominateur s'vanouissent 

 pour des valeurs donnes: tout cela, c'est--dire la partie essentielle de 



